∴ ∴
，∴
，且
∵[例5]在等比数列 解： ∵
非零，∴
中，
。
，求该数列前7项之积。
，∴前七项之积
[例6]求数列前n项和
解： ①
②
两式相减：
[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，
问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的
质量分数为多少？
解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：
a1= 0.2 （kg）, a2=×0.2（kg）, a3= ()×0.2（kg）
2
由此可见：an= (
)?×0.2（kg）, a5= (
n1)?×0.2= (
51
)×0.2=0.0125（kg）。
4
(2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q=
答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg
盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
四、典型习题导练
1.求下列各等比数列的通项公式：
1) a1=?2, a3=?8
2) a1=5, 且2an+1=?3an
3) a1=5, 且
2.在等比数列
，已知
，
，求，
.
3.已知无穷数列
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列
为
求此数列前项的和。
5.已知数列{an}中，a1=?2且an+1=Sn，求an ,Sn
6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？ 7.在等比数列
中，
，求的范围。
错解剖析得真知（十二）
§4.3数列的综合应用
一、知识导学
1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.
二、疑难知识导析
1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，
转化为解不等式解决；
2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；
3.等差数列中, am=an+ (n－m)d, 4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈
; 等比数列中，an=amq;
n-m
）时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列
｛an｝有：aman=apaq；
5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；
6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9?）仍是等差（或等比）数列；
7.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈
）；
8.若一阶线性递推数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:
三、经典例题导讲 [例1]设
是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：
(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式.
。
错解：欲证
只需证＞2
即证：＞
＜
由对数函数的单调性，只需证
－
＝－
＝
＜
原不等式成立.
错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.
正解：欲证
只需证＞2
即证：＞
＜
由对数函数的单调性，只需证由已知数列
>0,若则若
, , －
＝
是由正数组成的等比数列， .
＝－＜0；
－＝
＝－
＜
原不等式成立.
[例2] 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）
错解：因球 每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形
成了一公比为的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，
共经过的路程应为前10项之和.
即＝199（米）
错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.
正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过
了＝100（米）?因此到球第10次着地时共经过的路程为
＝
答：共经过300米。
300（米）
[例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？ 错解：
年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a
18
为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a19=a(1+r).
错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元. 正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息入手考虑，出生时的a元到18年时变为
18
a(1+r)，
17
1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)，
16
2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)，