数论（一） 奇数与偶数
【知识点概述】
1.奇数和偶数的定义：
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。 2.奇数与偶数的运算性质：
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性 性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶 性质8：奇数的平方可以写作 4k+1 ，偶数的平方可以写作 4k
【习题精讲】
【例1】下列算式的得数是奇数还是偶数？
(1) 29＋30＋31＋??＋87＋88
(2) （200＋201＋202＋??＋288）－（151＋152＋153＋??＋233） (3) 35＋37＋39＋41＋??＋97＋99
【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，
不能请说明理由。
(1) 1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10
(2) 1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27
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【例3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22
【例4】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?
【例5】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？
【例6】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三
个数之和都是偶数?
【例7】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新
三位数之和能否等于999？
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【例8】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第
一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？
【例9】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，
那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？
【例10】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中有几个奇数？
【例11】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8
丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．
【例12】在ll张卡片上各写有一个不超过4的数字．将这些卡片排成一行，得到一
个1l位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个1l位数．证明：这两个11位数的和至少有一位数字是偶数．
3
【例13】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人
总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：k为偶数．
【作业】
1、是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10＝36
若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
2、能否从1、3、5、7、9、11、13、15这8个数中选出3个数来，使它们的和为24？
3、将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045
4、你能不能将整数数0到8分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数?
5. 黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增
写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？
6.一队小朋友表演球操，每人都拿着一个球，其中拿篮球的人比拿排球的多1人，拿排球的人比拿足球的多1人。
（1）如果拿足球的人数是奇数，这队小朋友的人数是奇数还是偶数？ （2）如果拿排球的人数是奇数，这队小朋友的人数是奇数还是偶数？
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数论（二） 数的整除
【专题知识点概述】
一、常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除， 那么这个数能被11整除.
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除， 那么这个数能被7、11或13整除.
（以上规律仅在十进制数中成立.）
5. 部分特殊数的分解：1001=7×11×13；111111=111×1001
二、整除性质
(1)性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如
果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不
一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但5
26，5
24．
再看下面这个问题：2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因
为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出：
(2)性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如
果b∣a，c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
(3)性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc
∣a，那么b∣a，c∣a．
(4)性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一
定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． (5)性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．
如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；
(6)性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．
如果 b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；
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