【拓展】（难度等级 ※※※※）
有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?
【例8】（难度等级 ※※※）
已知甲数的12倍与乙数的15倍的最大公约数是1440，那么甲数和乙数的最大公约数最小可以是多少？
【拓展】（难度等级 ※※※※）
a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?
【拓展】（难度等级 ※※※※※）
a、b、c是三个互不相等的非0自然数，他们的和是1155，则他们最大公约数的最大值是多少？最小公倍数的最小值是多少？最小公倍数的最大值是多少？
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【典型约数倍数数论应用题】
【例1】（难度等级 ※※※）
3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长长
15千米,中圈跑道长
14千米,外圈跑道
38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小
时后,3人第一次同时回到出发点?
【例2】（难度等级 ※※※）
有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处?
【例3】（难度等级 ※※※）
在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
【例4】（难度等级 ※※※）
某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?
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【完全平方数】
【例1】（难度等级 ※）
写出360到630的自然数中有奇数个约数的数．
【拓展】（难度等级 ※※※）
两个数乘积为2800，而且已知其中一个数的约数比另一个数的约数个数多1.那么这两个数分别是多少？
【例2】（难度等级 ※※）
一个正整数加上32和132后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？
【拓展】（难度等级 ※※※）
有2个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数末两位数相同，那么这两个两位数是多少？写出所有可能情况。
【例3】（难度等级 ※※※）
自然数M、N的各位数字和分别是2000和2001，求证M、N都不是完全平方数
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【例4】（难度等级 ※※※※）
a,b是两个不同的自然数，且 ab=169(a+b)，其中 a+b 是一个完全平方数，求a和b。
【例5】（难度等级 ※※※※※）
已知a,b,c都是整数，且（a,b,c）＝1,满足ab＋bc＝ac,求证a－b是完全平方数
【作业】
1. 甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？
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2. 525与一个整数的乘积是一个完全平方数，求这个整数最小是多少？
3. 今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?
4. 加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?
5. 有甲乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍。已知甲数分别能被2，4，6，8，10，12，14，16整除，但不是18的倍数，而乙数是两位数，则乙数是多少？
6. 有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?
7. 一个正整数加上69和96后都等于一个完全平方数，求这个正整数是多少？
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