【例16】（难度级别 ※※※※）
一个两位质数，数字和是质数，而且将这个两位数分别乘以3，5，7之后得到的数的数字之和仍为质数，求满足条件的两位数。
【作业】
1. 已知3个不同质数的和是最小合数的平方，则这3个质数的乘积是多少？
2. 两个不同质数的倒数相加，所得分子是42，则分母分别可以是多少？
3. 将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？
4. 甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13，甲比乙大13岁，那么乙今年多大？
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5. 已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？
6. 如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?
7. 如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少?、
8. 有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?
9. 如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为迎春数，那么最大的迎春数是几？
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10.如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？
数论(五) 余数问题 【知识点概述】
一、带余除法的定义及性质：
1.带余除法的定义：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有 a÷b=q??r，也就是a＝b×q＋r, 0?r＜b；
(1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数) 性质1：余数小于除数
性质2：被除数?除数?商?余数
（被除数-余数）?商 除数?（被除数-余数）?除数 商?性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除
以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等
于4，即前两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等
于3+4=7除以5的余数，即2.
性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个
积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23?16)除以5的余数等
于3?1?3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23?19)除以5的余数等
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于3?4?12除以5的余数，即2.
【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，
对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。
二、数的同余
1.同余定义
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m ) 同余式读作：a同余于b，模m
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，
那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。
例如：（1）15?365(mod7)，因为365?15?350?7?50 （2）56?20(mod9) ，因为56?20?36?9?4 （3）90?0(mod10) ，因为90?0?90?9?10
由上面的(3)式我们可以得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为a?0(modm) 例如，我们表示a是一个偶数，可以写为a?2(mod2),
表示b为一个奇数，可以写为b?1(mod2)
我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同，在某些性质上相似。
2.同余式的性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数。） 性质1：a≡a（mod m） （反身性）
性质2：若a≡b ( mod m ),那么b≡a ( mod m ) （对称性）
性质3：若a≡b ( mod m )，b ≡c( mod m )，那么a≡c ( mod m ) （传递性） 性质4：a≡b ( mod m ),c≡d ( mod m ),那么a±c≡b±d ( mod m ) （可加减性）
性质5：若a≡b ( mod m ) ，c≡d ( mod m ),那么ac≡bd ( mod m ) （可乘性）
性质6：若a≡b ( mod m ) ，那么an≡bn(mod m),（其中n为自然数）
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性质7：若ac≡bc ( mod m )，（c，m）＝1,那么a≡b ( mod m )
三.弃九法
在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式1234?1898?18922?678967?178902?889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法性质，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加、相减，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
注意：弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式5?6?7?8?9?53时，
5除以9的余数为5，6除以9的余数为6，7除以9的余数为7，8除以9的余数为8，9除以9的余数为0，余数的和为26，除以9的余数为8，等式右边的和53除以9的余数也为8，虽然余数相同，但是很容易发现5?6?7?8?9?35，所以弃九法只能告诉我们算式“一定是错的”或者“有可能是对的”。
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
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