四、中国剩余定理
1.中国古代趣题：
中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”
此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人??。刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 2.核心思想和方法：
对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:
今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？
题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
先由5?7?35，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35?2?70是否可以，很显然70除以3余1
类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：
2?70?3?21?2?45?k[3,5,7]?233?k[3,5,7]，其中k是从1开始的自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限
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制，那么我们就能找到所求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算2?70?3?21?2?45?2?[3,5,7]?23得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128.
【习题精讲】
【例1】（难度级别 ※）
一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例2】（难度级别 ※）
有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。
【例3】（难度级别 ※）
求478×296×351除以17的余数。
【例4】（难度级别 ※）
求644312?19的余数
【例5】（难度级别 ※）
用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？
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【例6】（难度级别 ※）
用弃九法检验乘法算式5483×9117＝49888511是否正确。
【例7】（难度级别 ※※）
已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
【例8】（难度级别 ※※）
号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【例9】（难度级别 ※※）
一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？
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【例10】（难度级别 ※※）
一堆糖果，如果每2块分一堆剩1个，每3块分一堆剩1个?.每10个分一堆也剩1个，且这堆糖果的个数在99－5000之间，求这堆糖果的个数？
【例11】（难度级别 ※※※）
求自然数2100?3101?4102的个位数字。
【例12】（难度级别 ※※※）
自然数2?2?????2?...?2?1的个位数字是多少? ???67个2
【例13】（难度级别 ※※※）
若有一数介于300与400之间，以3除剩1，以8除剩5，以11除剩4。问此数为何？
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【例14】（难度级别 ※※※）
有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?
【例15】（难度级别 ※※※）
一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?
【例16】（难度级别 ※※※※）
将1,2,3，?,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?
【例17】（难度级别 ※※※※）
已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除。那么，最小的一个自然数是多少？
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