第八章 多元函数的微分法及其应用
§ 1 多元函数概念
一、设f(x,y)?x2?y2,?(x,y)?x2?y2,求:f[?(x,y),y2].
答案：f(?(x,y),y2)?(x2?y2)2?y4?x4?2x2y2?2y4
二、求下列函数的定义域：
x2(1?y)22{(x,y)|y?x?1}; 1、f(x,y)? 221?x?yy2、z?arcsin {(x,y)|y?x,x?0};
x三、求下列极限：
x2siny 1、(x,ylim （0） )?(0,0)x2?y2 2、
y(1?)3x (e6)
(x,y)?(?,2)xlimx2y四、证明极限 (x,ylim不存在. )?(0,0)x4?y2证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着y?x趋于（0，0）时，极限为 二者不相等，所以极限不存在
21, 21?,(x,y)?(0,0)?xysin22五、证明函数f(x,y)?? 在整个xoy面上连续。 x?y?0,(x,y)?(0,0)? 证明：当(x,y)?(0,0)时，f(x,y)为初等函数，连续。当(x,y)?(0,0)时，
1xysin?0?f(0,0)，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 (x,ylim)?(0,0)22x?y 在整个xoy面上连续。
六、设z?x?y2?f(x?y)且当y=0时z?x2，求f(x)及z的表达式. 解：f(x)=x2?x，z?x2?2y2?2xy?y § 2 偏导数
y?z?z?xy?z 1、设z=xy?xex ,验证 x?y?x?y?zy?z?z?z证明：?y?ex?ex,?x?ex，?x?y?xy?xy?xex?xy?z
?xx?y?x?yyyyy?z?x2?y231??,,12、求空间曲线?:?在点（）处切线与y轴正向夹角() 122y?4??2x3、设f(x,y)?xy?(y?1)2arcsin, 求fx(x,1) ( 1)
y4、设u?x, 求
zzy?u?u?u ， ，
?y?x?zzz?uz?u1y?uzy?1 解：??2xylnx ?xlnx ?x ，
?y?zy?xyy?2u?2u?2u25、设u?x?y?z，证明 : ???
?x2?y2?z2u6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由
222
1?22xsin,x?y?0?22f(x,y)?? x?y22?0,x?y?0?10?0 limf(x,y)?0?f(0,0) 连续； fx(0,0)?limsin 不存在， fy(0,0)?lim?0
2y?0x?0x?0y?0xy?07、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 limx?0f(a?x,b)?f(a?x,b)
x （2fx(a,b)） § 3 全微分 1、单选题
（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________
(A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在 （C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分：
yyy11）z?ex dz?ex(?2dx?dy)
xx 2）z?sin(xy2) 解：dz?cos(xy2)(y2dx?2xydy)
yz?11y 3）u?x 解：du?xdx?xzlnxdy?2xzlnxdz
zzzyzyyy3、设z?ycos(x?2y)， 求dz(0,)4?
解：dz??ysin(x?2y)dx?(cos(x?2y)?2ysin(x?2y))dy ?dz|(0,?4)=
?4dx??2dy
4、设f(x,y,z)?
1z(?2dx?4dy?5dz) df(1,2,1) 求： 2225x?y?22?(x?y)sin5、讨论函数f(x,y)???0,?1x?y22,(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在（0，0）点处
的连续性 、偏导数、 可微性
1(x2?y2)sin?0?f(0,0) 所以f(x,y)在（0，0）点处连续。 解：(x,ylim)?(0,0)22x?y
f(?x,0)?f(0,0)f(0,?y)?f(0,0)?0,fy(0,0)?lim?0
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)?x?yf(?x,?y)?0 ?0，所以可微。
22(?x)?(?y) §4 多元复合函数的求导法则
dzvt1、 设z?u,u?sint,v?e，求
dttdzet?1 解：=cost.(sint)?et?lnsint?(sint)e?et
dt?z?z2x?3y,，求, 2、 设z?(x?y)?x?y?z2x?3y?1?(2x?3y)x(?y)?3x(?y2x?)3ylnx?( y), ?y?z?zyn?2y?nz 3、 设z?xf(2)，f 可微，证明x?x?yxfx(0,0)?lim?2z?2z?2z4、 设z?f(x?y,2xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求，， 22?x?x?y?y?z?2xf1??2yf2? , 解：?x2?z?z?2x(f11??(?2y)?f12??2x)?2f2??2y(f21??(?2y)?f22??2x) ??2yf1??2xf2? ,
?x?y?y22 =2f1??4xyf11???4(x2?y2)f12???4xyf22??
2?z?2z22?????????2f1??4y2f11???8xyf12???4x2f22?? ?2f?4xf?8xyf?4yf ,111122222?y?xyx?2z5、 设z?f(xy,)?g()，其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数，求
xy?x?y?zy1?f1?y?2f2??g? ， 解：?xxy?2z11y11x?f1??y(f11??x?f12??)?2f2??2(f12??x?f22??)?2g??3g??
?x?yxxxxyydu6、 设u?F(x,y,z)，z?f(x,y)，y??(x)，求
dxdu??F1??F2???(x)?F3?(fx?fy???(x))。 解：dx?u?x?2y?2z?2z?2z?2z?0， 7、设z?z(u,v)，且变换? 可把方程62??2=0 化为 ?u?v?xv?x?ay?x?y?y? 其中z具有二阶连续偏导数，求常数a的值 (a?3)
?2z?2z?2z?2u?z?z?z?z?z?z??? 证明： ??2?a ??
?y?u?v?x?u?v?x2?u2?u?v?v22?2z?2z?2z?2z?2u2?u?42?4a?a??22?(a?2)?a2 22?u?v?x?y?u?v?y?u?v?u?v?2z?2z2?2z2?u?(6?a?a)2?0 a=3 得：(10?5a)?u?v?v8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,f1/(1,1)?a,f2/(1,1)?b
又，?(x)?f?x,f[x,f(x,x)]? 求 ?(1).和?/(1) (1) ,
(a+ab+ab2+b3)
§ 5 隐函数的求导公式
dy1、 设ylny?x?y，求
dxdy1?解：令F(x,y)?ylny?x?y，Fx??1,Fy?lny,? dxlnyz2222、 设z?z(x,y)由方程x?y?z?yf()确定，其中f可微，证明
y?z?z(x2?y2?z2)?2xy?2xz
?x?yx?2zy?z3、 设z?z(x,y)由方程?e所确定，其中f可微，求
z?x?yz?zz?zz?2z???,??, 3?xx(1?z)?y1?zx(1?z)?x?y?x2?y2?z2?1dyxdzdydz??4、 设?，求， ( ，?0) 22dxydxdxdx?z?x?y?z?z, 5、 设z?z(x,y)由方程F(xy,y?z,xz)?0所确定，F可微，求
?x?yFyFxF1?y?zF3??zF1?x?F2??z????,????解：令F(x,y,z)?F(xy,y?z,xz) ，则 ?xFz?yF????F2?xF3F2?xF3z6、设z?f(x,y)由方程z?x?y?ez?x?y?0所确定，求dz (dz??dx?dy) 7、设z=z(x,y)由方程 3xy?xcos(yz)?z3?y所确定，求
?z?z, , ?x?yyz()?z3xy.yln3?cos?zx.3xyln3?xzsin(yz)?1 , ???x?y3z2?xysinyz()3z2?xysin(yz)
§ 6 微分法在几何中的应用
1、 求螺旋线x?2cost,y?2sint,z?3t 在对应于t??4处的切线及法平面方程
解：切线方程为
x?2y?2???22z?3?4 3 法平面方程?2(x?2)?2(y?2)?3(z?3?)?0 4?x2?y2?z2?502、 求曲线? 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 222?z?x?yx?3y?4z?5 解：切线方程为 ，法平面方程：4x?3y?0 ??4?302223、 求曲面2x?3y?z?9在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为2(x?1)?3(y?1)?2(z?2)?0
x?1y?1z?2 及法线方程 ??2?324、 设f(u,v)可微，证明由方程f(ax?bz,ay?bz)?0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定
向量平行
证明：令F(x,y,z)?f(ax?bz,ay?bz)，则
????????Fx?f1a,Fy?f2a,Fz??bf1?bf2,?n?(f1a,f2a,?bf1?bf2)
23232323 ?n?(b,b,a)?0 ，所以在（x0,y0,z0）处的切平面与定向量（b,b,a）平行。 5、 证明曲面x和为a
2?y?z?a(a?0）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方