2?32?32?3证明：令F(x,y,z)?x?y?z?a，则Fx?x,Fy?y,Fz?z,
333 在任一点?x0,y0,z0?处的切平面方程为x0 在在三个坐标轴上的截距分别为x0证明曲面z132313?1323232323111(x?x0)?y0(y?y0)?z0(z?z0)?0
1323?13?13a,y0a,z0a,在三个坐标轴上的截距的平方和为a2
23y?xf()上任意一点M(x0,y0,z0),(x0?0)处的切平面都通过原点
x7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有F(tx,ty,tz)?tkF(x,y,z) k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ：F(tx,ty,tz)?tkF(x,y,z) 两边对t 求导，并令t=1 xFx?yFy?zFz?kF(x,y,z)
设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
Fx(x0,y0,z0)(x?x0)+Fy(x0,y0,z0)(y?y0)+Fz(x0,y0,z0)(z?z0)=0 此平面过原点（0，0，0）
§ 7 方向导数与梯度
1、 设函数
f(x,y)?x2?xy?y2， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。
2）在点（1，3）处沿着方向l的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向 解：梯度为 grad(1f,3)??i?5j,
到
最小值的方向为?s?f?l(1,3)??cos??5sin? , 方向导数达到最大值的方向为s?(?1,5)，方向导数达
?(1,?5)。
2、 求函数u?xy2?yz2?zx2在（1，2，-1）处沿方向角为??600??900??1500的方
?u?l?1?向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
33，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 (1,2,?1)2?u gradu(1,2,?1)?2i?5j?3k，此时最大值为 38 (1,2,?1)??l解：：方向导数 为3、 求函数u?xy2z3在（1，1，-1）处沿曲线x?t,y?t2,z?t3在（1，1，1）处的切线正方
向（对应于t增大的方向）的方向导数。
?u?u?u?y2z3,?2xyz3,?3xy2z2，s?(1,2,3)，?该函数在点（1，1，-1）处的方 ?x?y?z?u4? 向导数为， (1,1,?1)?l142224、求函数u?ln(y?z?x)在（1，1，-1）处的梯度。
?u2x?u2y?u2z?2,?,?解：：， 22222222?xx?y?z?yx?y?z?zx?y?z解：：
gradu(1,1,?1)?222i?j?k 333
§ 8
多元函数的极值及求法
1、求函数f(x,y)?3x2?3y2?2x?2y?2的极值。
11 答案：（，）极小值点
33 2．求函数f(x,y)?x2?y2?2lnx?18lny的极值 答案：极小值f(1,3)?10?18ln3
3. 函数f(x,y)?2x2?ax?xy2?2y在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5) 4、求函数z?x2?y2?1在条件x?y?3?0下的条件极值
解：F(x,y,?)?x2?y2?1??(x?y?3)
?Fx?02211 ，极小值为 ?(,)?F?0332?y5、 欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。 （长和宽2米，高3米）
6、 在球面x2?y2?z2?5r2（x?0,y?0,z?0）上求一点，使函数
f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz 达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证
a?b?c5明?a,b,c 有abc3?27()
52222证明：令L?lnx?lny?3lnz??(x?y?z?5r) ?L?L?L?0,?0,?0，x2?y2?z2?5r2解得驻点x?y?r,z?3r。所以函数令?x?y?zf(x,y,z)?lnx?lny?3lnz在x?y?r,z?3r处达到极大值。极大值为ln(33r5)。x2?y2?z25)，令即xyz?33r?xy(z)?27(r)?27(5a?b?c5x2?a,y2?b,z2?c,得abc3?27()。
535222325x2y2 7、求椭球面??z2?1被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的
32 长度
x2y2?z2?1)??2(x?y?z) 解： F?x?y?z??1(?322222?1x?F?2x???2?0?x3?F?2y??y???0y12??3?2??2??2? ?Fy?2z?2?1z??2?0 x?，y?，z?
2(3??)2??2(1??)111?22?x??3?y?z2?1?x?y2?z?0
?1??(x2?y2?z2)??d2 ??11?136 长半轴 11?136， 短半轴 11?131?6
第八章 自测题
一、选择题：（每题2分，共14分）
?xy21、设有二元函数f(x,y)???x2?y4,(x,y)?(0,0), 则 [ ]
??0,(x,y)?(0,0),A、ylim)?(0,0)f(x,y)存在；
(x,B、(x,ylim)?(0,0)f(x,y)不存在；
C、(x,ylimy)在(0,0)处不连续； )?(0,0)f(x,y)存在， 且f(x,D、
(x,ylim)?(0,0)f(x,y)存在， 且f(x,y)在(0,0)处连续。
2、函数f(x,y)在P0(x0,y0)各一阶偏导数存在且连续是f(x,y)在P0(x0,y0)连续的[ A、必要条件； B、充分条件；
C、充要条件； D、既非必要也非充分条件。
?xy3、函数f(x,y)???x?y,x?y, 在(0,0)点处 [ ]
??0,x?yA、极限值为1； B、极限值为-1；
C、连续； D、无极限。
4、z?f(x,y)在P0(x0,y0)处fx(x,y)，fy(x,y)存在是函数在该点可微分的 [ ] （A）必要条件； （B）充分条件；
（C）充要条件； （D）既非必要亦非充分条件。 5、点O(0,0)是函数z?xy2的 [ ]
（A）极小值点； （ B）驻点但非极值点； （C）极大值点； （D）最大值点。
6、曲面ez?z?xy?3在点P(2,1,0)处的切平面方程是 [ ]
（A）2x?y?4?0； （B）2x?y?z?4； （C）x?2y?4?0； （D）2x?y?5?0
]
7、已知函数u?f(t,x,y),x??(s,t),y??(s,t)均有一阶连续偏导数，那么
(A)fx?t?fy?t; (B) ft?fx?t?fy?t; (C) f??t?f??t; (D) ft?f??t?f??t 二、填空题：（每题３分，共18分）
?u?[ ] ?tx2siny? （ 0 ） 1、lim(x,y)?(0,0)x2?y2?3fz1?3xyz?x2y2z2) ） ２、设f(x,y,z)?e，则?（ exy(?x?y?z?sin(xy),xy?0,?３、设f(x,y)??y2则fx(0,1)?( 0 )
?xy?0,?0,x４、设z?(x?2y)，则在点(1,0)处的全微分.dz?(dx?2dy)
xyz2??y?x５、曲线?在点P0(1,1,1)处的切线方程为
2??x?zx?1y?1z?1( ) ??214?x2?y2?z2?3xx?1y?1z?1６、曲线?在点(1,1,1)处的切线方程为( ) ??2102x?4y?6z?4?三、计算题（每题6分）
1、设f(x,y)?xln(x?y)，求f(x,y)的一阶偏导数
222xy2x2f(x,y)? ， 。 fx(x,y)?ln(x?y)?2y222x?yx?y22?x??，求此函数在点P0(1,1)处的全微分。并求该函数在该点处沿着从 f(x,y)?ln?x???y??1?f2?(2,?1) P0到P方向的方向导数 ( ，) df?dx?dy1(1,1)?l25?2z?2y?３、设z?f?xy,?,f具有各二阶连续偏导数，求
x??x?y?2?2z?1???y??z3解： ?2xf1?2f2?2xf11?yf12?3f22xx?x?y?x?y1?2222,x?y?0?x?ysin22４、设f(x,y)?? 求fx(x,y)和fy(x,y)。 x?y?0,x2?y2?0?1xsin2f(x,0)?f(0,0)x不存在，故f(0,0)不存在，同理，f(0,0)也不存在。 lim ?limyxx?0x?0x?0x 当(x,y)?(0,0)时，有
2、设
fx(x,y)?fy(x,y)?xx2?y2y
x2?y212y1 sin?2cos23/2222222(x?y)x?yx?yx?yz?x?ysin1?2x1 cos(x2?y2)3/2x2?y2５、设z?f(x,y)由方程z?x?y?e?0所确定，求dz ( dz??dx?dy)
?2z６、设z?f[?(x)?y,?(y)?x]，f具有连续的二阶偏导数，?,?可导，求
?x?y?2z?z???f12????(y)]?[?f21???f22????(y)] ???(x)[?f11 ?f1???(x)?f2?
?x?y?x???[??(x)??(y)?1]f12?????(y)f22?? ????(x)f1122??u???x?y?u??0７、设?确定函数u?u(x,y),???(x,y)，求。 ,222??x?y?xy?u???0?u4xu?u2??4x???y2?,??x2(u2??2)?x2(u2??2)
?u2y??xy???2yu?xy??2,?22?y?yu??u??21?2u?2u?2u222８、设u?f(x?y?z)，式中f二阶可导，求2?2?2
222?x?y?zx?y?z解：记r?x2?y2?z2，则 f(r)u??f(r)?r?1
r?uf?(r)r?f(r)?uf?(r)r?f(r)?uf?(r)r?f(r)?x,?y，?z 3?xr3?yr3?zr?2ur2f??(r)?3[f?(r)r?f(r)]2f?(r)r?f(r)??x? 253?xrr类似地，有
?2ur2f??(r)?3[f?(r)r?f(r)]2f?(r)r?f(r)??y? 253?yrr?2ur2f??(r)?3[f?(r)r?f(r)]2f?(r)r?f(r)??z? 253?zrr
?2u?2u?2ur2f??(r)?3[f?(r)r?f(r)]23[f?(r)r?f(r)]?2?2??r? 253?x?y?zrrf??(r)?
r四、（１０分）试分解正数a为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
111设三个正数为x,y,z，则x?y?z?a，记F???，令
xyz