1.若L是上半椭圆??x?acost,取顺时针方向,则 ydx?xdy=
Ly?bsint,?? A.0 B.ab C.?ab. D 2?ab
2?2. 设L为x?y?a的正向，则?222Lxy2dx?x2ydyx?y22?
A．2? B.-2? C.0 D.?
3.设L为曲线x2?y2?9的正向，则??2xy?2y?dx??x2?4x?dy?
LA．9? B.-18? C. -9? D.0
二、计算题
1.设L是圆x?y?2x?1取逆时针方向，则?22lnx2?y2dx?eydyx2?y2?2x??2?
L解：将方程代入被积函数在由格林公式得 ?ln?1?2x?dx?eydy???(0?0)dxdy?0
2LD?2．??2xy3?y3cosx?dx??1?2ysinx?3x2y3?dy,其中L为点O?0,0?到A??,1?的抛物线
?L?2? y2?解：因
2?x的弧段
?Q?P??故积分与路径无关，取B???,0?
?x?y?2?2?????2??2?? ?0?1?2ysin?3??ydy???224???0?1I?OB???BA?3．求I??Lydx?xdyx?y22，L为(1)?x?1?2??y?1?2?1 (2) 正方形边界x?y?1的正向
解：(1)直接用格林公式=0
222 (2) 设l为圆周：x?y?r取逆时针方向，其参数方程
x?rcost,y?rsint,t:0?2?
原积分为
l??L???????0dxdy??l?Dl所以
?Lydx?xdyx?y22??lydx?xdyx?y222???0?r2sin2t?r2cos2tr2dt??2?
4、验证 解：
?y2?yexdx?2xy?exdy在xoy面上是某函数u?x,y?的全微分，求出u?x,y?
????Q?P??2y?ex，u?x,y??xy2?yex， ?x?y?1,1?5、设曲线积分?xy2dx?y??x?dy与路径无关，其中??x?具有连续的导数，且
??0??0，计算
?0,0??xy2dx?y??x?dy的值
解：取路径：沿x?0从?0,0?到?0,1?；再沿y?1从?0,1?到?1,1?则
11I??0y??0?dy?xdx??01 2或
?Q?P???'?x??2,又??0??0得??x??x2 ?x?y
§4 对面积的曲面积分 1、计算曲面积分 ??(z?2x??xyz4y)ds，其中?是平面???1在第一卦限的部
2343x3(1?)2分 解：I?Dxy??[4(1?24y61xy?)?2x?]dxdy??dx02333?04.61dy?461 32、求曲面积分???21ds ，其中?是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面 222x?y?zy2R?y2H x2?y2?R 解：I?2??1R?z221?Dyzdydz?2R?201R?z22Rdz.?1R?y22dy
?RHR =2[arctan]0.[arcsin]?R?2?arctanzRyRH R
3、求曲面积分??(xy?yz?zx)ds ，其中?是锥面z??x2?y2被柱面
x2?y2?2ax所截得的有限部分
解：
?I?Dxy??[xy?(x?y)x?y]2dxdy=
22??22acos?d??22[r?cos?sin??r(cos??sin?).r]2rdr=0642a4 15
§ 5 对坐标的曲面积分 一、选择题
1.设?关于yoz面对称反向，若P?x,y,z?关于x为偶函数，?1是?在yoz面的前侧部分，则??P?x,y,z?dydz?（ ）
? A.0 B.2??P?x,y,z?dydz C. ?2??P?x,y,z?dydz D.ABC都不对
?1?12.设?:x2?y2?z2?a2?z?0?取上侧,则下述积分不等于零的是（ ） A ??x2dydz B ??xdydz C ??ydxdy D ??zdxdz
????3.设?为球面x2?y2?z2?1取外侧,?1为其上半球面,则有（ ） A.??zds?2??zds B.??zdxdy?2??zdxdy C.??z2dxdy?2??z2dxdy D. 0
??1??1??1二、计算
1．??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy其中?由x?y?z?1及三个坐标面所围成闭曲面的外侧
?解：??zdxdy????1?x?y?dxdy??dx??1?x?y?dy?2?Dxy00211?x2112
由轮换对称性原式?14
2．???x?y?dydz其中?为锥面z?x2?y2被平面z?1所截部分的外侧
?解：由对称性 ??ydydz?0?原式???xdydz???x??zx?dxdy???x2?y2?1??x2x2?y22?1dxdy?22d?rcos?dr???00?3
3.??(x?y)dydz??y?z?dzdx??z?x?dxdy其中?为z?x2?y2被平面z?1所截部
?分，其法向量与z轴成锐角
解：由对称性??ydydz???zdzdx?0??22原式?????2x?2y??z?x????dxdy??x2?y2?1???x2?y2?x?dxdy
???d???r3?r2cos??dr??002?1?2三、用两类曲面积分之间的关系计算
1． 求??(x3cos??y3cos??z3cos?)dS其中?是柱面x2?y2?a2在0?z?h部分，
?cos?,cos?,cos?是?的外法线的方向余弦
解：原式???x3dydz?y2dzdx?zdxdy? 由奇偶对称性 及 dxdy=0 得?
ha22原式???xdydz?2??xdydz?2?dz??a?y33??0?a?32dy?4ha4344costdt??ah?4022．??(f(x,y,z)?x)dydz??2f(z,y,z)?y?dzdx??f(x,y,z)?z?dxdy其中f(x,y,z)为连续函数，??为平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧
解：?的法向量为n?{1,?1,1} ?cos??原式?13,cos???13,cos??13.
111(x?y?z)dS = ?1?3dxdy??233???Dxy???四、试求向量A?i?zj?ezx2?y2?k穿过由z?x2?y2及z?1及z?2所围成圆台外侧
面（不含上下底）的流量
解：?=??dydz?zdzdx??ezx?y22dxdy????2???dxdy?由奇偶对称性知??dydz???zdzdx?0? ??x2?y2????ez2???d??erdr?2?e?1?e?01 §6 高斯公式
1. 设?是抛物面z?(x2?y2)介于z?0及z?2之间部分的下侧，求
???z?2?xdydz?zdxdy
?128?
2．设?为x2?y2?z2?1取外侧,求
222xx?1dydz?yy?1dzdx?zz?1?dxdy? ????????32? 5
13.设?为平面x?y?z?1在第一卦限部分的上侧，则??xydydz?yzdzdx?xzdxdy=
8?
4.求矢量场A?x3i?y3j?z3k穿过曲面z?R?R2?x2?y2?R?0?与z?x2?y2所围成的闭曲面外侧的通量 5. 求???285?R 51y?x?1?f?dydz??y?x???x?f??y??dzdx?zdxdy，其中f?u?有连续的二阶导数，?是 ??2?2 y?x2?z2,y?8?x2?z2所围立体的外侧
解：原式????dV?? 6.求 ??xz2????8?2?x?y??dxdy??d???8?2r?rdr?16?
dydz??xy?z?dzdx??2xy?yz?dxdy，其中?是
222x2?y2?400232 z?a2?x2?y2及z?0所围曲面的外侧
?解：原式?7.???????x?2?y2?z2?dV?32?4?d??sin?d??rdr?0002a2?5a 5xdydz?ydzdx?zdxdy(x?y?z)1R3?222，其中?为x2?y2?z2?R2取外侧
1R32解：原式????xdydz?ydzdx?zdxdy?????3dV?4?
? §7 斯托克斯公式
1、设L为依参数增大方向的椭圆：
x?asin2t,y?2asintcost,z?acos2t?0?t?2??，求
?L?y?z?dx??z?x?dy??x?y?dz （0）
2．设L为平面x?y?z?1与坐标面交线，从z轴看去为逆时针方向，求 ?L?y?z?x?dx??x?y?z?dy??y?x?z?dz （2）
3.设L为圆周x2?y2?z2?R2,x?y?z?0若从ox轴正向看依逆时针方向，则 ?L?y?1?dx??z?2?dy??x?3?dz （?3?R2）
4、?Lydx?zdy?xdz其中L为圆周x2?y2?z2?R2,x?y?z?0若从ox轴正向看依逆时针方向。