四、48. (提示:化成2)
11五、1、[?,)； 2、(?2,2).
551??1?(?1)ln(1?x),x?(?1,0)?(0,1)六、s(x)??. 七、2e. x?0,x?0??1nn?1?x,x?(?2,2) 八、?2n?1(2?x)n?12e??11?(?1)ne??1n((?1)n?1e??1)??[cosn?sinnx]x 九、f(x)?222??n?11?nn?1 (???x???且x?n?,n?0,?1,?2,?).
2?1?cosnhsinnx,x?(0,h)?(h,?) 十、f(x)???n?1nh2?sinnhcosnx,x?[0,h)?(h,?). f(x)?????n?1n
12n?2???n??333 第十二章 微分方程
§ 1 微分方程的基本概念
22
1、由方程x-xy+y=C所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y?=2-xy B.(x-2y)y?=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy
2、曲线族y=Cx+C2 (C为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） A. y=xy?+y?2 B.y=Cx+y?2 C. xy?+y?2=C D. y?=xy?+y?2
3如函数满足初始条件：y=(C1+C2x)e2x , y|x=0=0 , y?|x=?=1，则C1,C2的值为（ ） A. C1=0 , C2=1 B. C1=1 , C2=0 C. C1=? , C2=0 D. C1=0 , C2=? 14.微分方程y?=写成以y为自变量，x为函数的形式为（ ）
2x?ydy1dx1?? A. B. C. x?=2x-y D. y?=2x-y dx2x?ydy2x?y5. 已知某初值问题的解为y=C1sin(x-C2) y|x=?=1,y?|x=?=0, 确定C1, C2 解：y=C1sin(x-C2), y?=C1cos(x-C2)
?代入y|x=?=1,y?|x=?=0得C1=1,C2=2k?+
26 .设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动。物体B从点 (-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。
解：设在时刻t，物体B位于(x,y)处，则
dyy?(1?vt) ?dxxd2ydt1 整理可得：x2??v ○
dxdxds?dy?dx?1???而2v? dtdxdt??2dt1?dy?2 ?1??? ○dx2v?dx?其中s表示B的运动轨迹的曲线的弧长。 有
d2y1?dy?2代入○1得：x2?1????0 将○
dx2?dx?初始条件：y(-1)=0, y?(-1)=1 §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）
A.可分离变量的微分方程 B.一阶微分方程的对称形式。
dxQ(x,y)?? C.不是微分方程 D.不能变成 dyP(x,y)2、方程xy?-ylny=0的通解为（ ）
A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=ex+C
3、方程满足初始条件：y?=e2x-y , y|x=0=0的特解为（ ）
e2x?11y2x
A. e=e+1 B. y?ln C. y=lne2x+1-ln2 D. ey=e2x+C
22y4、已知y=y(x)在任一点x处的增量?y??x??，且当?x?0时，?是?x 21?x 的高阶无穷小，y(0)=?,则y(1)=( )
2 A. 2? B. ? C. e D. ?e?5、求 特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=
4解：分离变量为tanydy=tanxdx
即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC cosy=ccosx
2?代入初始条件：y|x=0=得：C?
24特解为：2cosy=cosx
dy1x?y?cos?x?y??cos6、求微分方程满足y(0)=?的特解。 dx22?4?4
解：由
dyx?yx?ydyx?cos?cos?0得：??sin
ydx2222sin2yyx积分得：lncsc?cot?2cos?C
2x2代入初始条件：y(0)=?，得C= -2
/2x?y27、求微分方程yy?e?0满足y(0)=0的特解
8、子弹以速度v0=400m/s打进厚度为h=20cm的墙壁，穿透墙壁后速度为100m/s飞出。假定墙壁对于子弹的阻力和子弹运动速度平方成正比，求子弹穿透墙壁所用的时间。
解：设在时间t=0时，子弹打进墙壁v(t)表示子弹在t时刻速度。子弹在墙壁
dv1中的运动所受阻力kv2(k为常数)由牛顿第二定律得： 又??kv2v?dtkt?C1v(0)=v0=400.解得C=
400400 v?400kt?1可设子弹穿透墙壁所用时间为T，且墙壁后h=20cm,知?v(t)dt?0.2
0T400dt11T??ln(400kt?1)?0?ln(400kT?1)?0.2
00400kt?1kk0.2k
e=400kT+1 (*)
由题设知：子弹在时刻T时，飞出墙壁，且速度为100m/s，即
400v(T)??100，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即
400kT?13 T?400ln2 §3 齐次方程
1 .(x2+y2)dx-xydy=0，其通解为（ ） A. y2=x2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) C. y2=2x2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C
xy2.y???, y|x=1=2，则特解为（ ）
yx A. y2=2x2(lnx+C) B.y2=2x2(lnx+2) C .y=2xlnx+C D.y=2xlnx+2 xx???x?1??3.?1?2ey?dx?2ey???dy?0的通解为（ ） ??y????即：?v(t)dt??TT A. x=2y+C B. xye?2 C.x?2ye?C D.以上都不对
4、求y?x2+xy=y2满足y|x=1=1的特解。
xyxyyy?y?解：y?????,令?u，则
xx?x?dudx2x?解得：y? 2u(u?2)x1?x5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解
dyx2?2xy?y2y?2,令u?解： 2dxy?2xy?xxdu?u3?u2?u?1?可得x dxu2?2u?1解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)
即x(1+u2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y
??y?x2?y2dx?xdy?0(x?0)6、求初值问题?的解
??y|x?0?02??dyy?y???1??? 解：原方程化为
dxx?x?令y=xu这里可得： dudx? 2x1?u2lnu?1?u2?lnx?lnCu?1?u2?Cxy?y??1????Cxx?x?y?x2?y2?Cx2121x? 227、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x轴上的截距 解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y?(X-x)
y又x2?y2?x?
y?2??
将y|x=1=0代入的特解为y?x2?y2?x2或y??x?xdxx?1??,令u??得? ?y?ydyy??du?1?u2 整理得：?ydy2解得：lnu?1?u2?lny?C 得通解x?x2?y2?C
??x?2y?1的解。
2x?4y?1解：令u=x+2y，则u?=1+2y'
1u?1 (u??1)?22u?12u?1du?4dx u2u-lnu=4x+C
2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C
§4 一阶线性微分方程 1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（ ）
1?131?13??A. y?2?y?C? B. x?2?y?C?
y?1?3y?1?3??1?131?13??y?Cx?C. y?2 D. ???y? 2x?1?3y?1?3??12、微分方程xy?+2y=xlnx满足y(1)=?的解为（ ）
91111 A. y?xlnx?x B. y?xlnx?x
3939111 C. x2y?C?x3lnx D. y?lnx?x
3393、y?+y=y2(cosx-sinx)的通解为（ ）
1 A .y=Cex-sinx B.=Cex-sinx
y C. Cyex-ysinx=C D.y=ex-sinx+C
六、求y??4、求 通解 x?13dy3?y?x2.3y dx222dy333dz3?y?x2，令z?y3得x解：xy?z?x2 dx22dx2dz12?z?x2 dxx311??dx?dx?2?2x? z?ex?C?xe???3??1?213???x?C? x?34?1C即3y2?x2?
6x2y
2.xdy-ydx=yedy
dx1?x??yey 解：整理得
dyyy?23