解：?????cos??cos??cos??dS??3??cos?dS??3??dS??3?R2
???x2?y2?z?a25． ?Lydx?zdy?xdz,其中L为曲线?2?z?0,a?0?从ox轴正 2?x?y?ax 向看依逆时针方向。
222?2解1：?为球面被L所围部分z?a2?x2?y2,x2?y2?ax.?x,y,z?取凸侧?xyz??上点 ?x,y,z?处的法向量为?,,?，由斯托克斯公式?aaa?yz??xI??2???zcos??xcos??ycos??dS??2???z?x?y?dSaaa?????xy??2???x?y??a2?x2?y2x2?y2?ax?注：由对称性??ydxdy???DD???dxdy??2??xdxdy??a3?4x2?y2?ax?xydxdy?0222a?x?ypp ?22解2：L的参数方程x=acos2q,y=acosqsinq,z=asinq,q:-6． ?L(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz,其中L为椭圆
xz x2?y2?a2,??1(a?0,b?0)若从x轴正向看，此椭圆依逆时针方向。
ab解：所围区域?，其法向量为?b,0,a?原积分??2???cos??cos??cos??dS??2?a?ba?b22??dS
?2?a?b???dxdy??2?a?a?b???ax2?y2?a2
第十章 自测题 一、填空（每题4分，共20分）
1、设平面曲线L为下半圆周y=-1-x2，则曲线积分
22(x?y)ds?_______ （p） ?L
2、设L为椭圆
x2y2??1，其周长为a,则43??2xy?3xL2?4y2ds?(12a)
?3、设为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分
?Lxdy?2ydx?_________（p）
4、设W 是由锥面z=x2+y2与半球面z=R2-x2-y2围成的空间区域，3?是W 的整个边界的外侧，则???xdydz?ydzdx?zdxdy?_________(2-2)pR
W325、设?为球面(x-R)2+(y-R)2+(z-R)2=R2外侧，则曲面积分 ??Sxdydz?ydzdx?zdxdy?_______ （0） 2223/2(x?y?z)二、选择题（每题5分，共15分）
1、 设?:x2?y2?z2?a2?z?0?,?1是?在第一卦限部分.则有 A．??xdS?4??xdS B.??ydS?4??ydS
??1??1C.??zdS?4??zdS D.??xyzdS?4??xyzdS
??1??12、设?:x2?y2?z2?a2?z?0?,取上侧，则下述积分不正确的是
A．??x2dydz?0 B. ??xdydz?0 C.??y2dydz?0 D.??ydydz?0
????3、设L是从点(0,0)沿折线、y=1-|x-1|至点A(2,0)的折线段，则曲线积分 I???ydx?xdy为（ ） A 0 B -1 C 2 D –2
L三、计算（每题8分）
1．计算曲面积分??zds，其中S为锥面z=x2+y2在柱体x2?y2?2x
S内的部分
?2222cos?2?rdr?0 I?2x?y?2x??22.x?ydxdy?2??d??2322 92、过O?0,0?和A??,0?的曲线族y?asinx?a?0?，求曲线L使沿该曲线从O?0,0?到A??,0?的积分??1?y3?dx??2x?y?dy的值最小
L解：I?a?????1?a03sin3x??2x?asinx?acosxdx???4a??43a3
I'?a??4a2?1?0,?a?1?I''?1??8?0。a?1, I?a?最小，此时 y?sinx
??3、计算曲线积分I=?4xLxdy?ydx2?y2，其中L是以?1,0?为中心，R(R?1)为半径
的圆周（取逆时针方向）
222解：设l为圆周：4x?y?r取逆时针方向，其参数方程
x?rcost,y?rsint,t:0?2? 2原积分为
2222????????0dxdy???4x?y4x?yLlxdy?ydx?xdy?ydx2??l?L?l?Dl?0121rcos2t?r2sin2t22dt?? 2r4、计算I??(y2?z2)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz其中L是平面
Lx+y+z=2与柱面x+y=1的交线，从z轴正向看上去为逆时针方向.
（-24）
5．计算曲面积分I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy 其中?是曲面
Sz?1?x2?y2(z?0)的上侧。 （-?）
S 6．计算曲面积分I???xdydz?z2dxdy222x+y=R其中S是由曲面与两222x?y?z2平面z=R,z=-R(R>0)围成立体表面的外侧 （1?2R） 7．设S是椭球面
2x2y点P??z2?1的上半部分，
22?x,y,z??S,?为S在点
SP处切平面, ??x,y,z?为点o?0,0,0?到切平面的距离,求 ??（3?）
2zdS ??x,y,z?四、（9分）在变力F?yzi?xzj?xyk作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面
?????x2a2?y2b2?z2c2?1第一卦限的点P(x，h，z)，问x，h，z取何值时，
力F所作的功最大？求出W的最大值。 （
3abc) 9
第十一章 无穷级数
§ 1 常数项级数的概念和性质
?3n1、 设级数?n，则其和为（ ）
n?05 A
3515 B C D
5322?n?1
2、 若liman?0，则级数?an（ ）
n?? A 收敛且和为0 B 收敛但和不一定为0
C 发散 D 可能收敛也可能发散 3 、若级数?un收敛于S，则级数?(un?un?1)（ ）
n?1n?1?? A 收敛于2S B收敛于2S+u1 C收敛于2S-u1 D发散
?11)的值 4、若limbn???，bn?0,求 ?(?n??bbn?1nn?11111111111 ?)?(?)?(?)?......(?)??b1b2b2b3b3b4bnbn?1b1bn?11 所以limSn?
n??b1解： Sn?((5、若级数?an收敛，问数列{an}是否有界
n?1
?
解：由于liman?0，故收敛数列必有界。
n??6、若liman?a，求级数?(an?an?1)的值
n??n?1? 解：Sn?(a1?a2)?((a2?a3))?......(an?an?1)?a1?an?1 故?(an?an?1)?lim(a1?an?1)?a1?a
n?1n???7、求?(2n?1a?2n?1a)的值
n?1? 解：Sn?(3a?a)??n?1(5a?3a)?......(2n?1a?2n?1a)?2n?1a?a
n??故?(2n?1a?2n?1a)=?lim(2n?1a?a)?1?a 8、求 ?11的和 ()
4n?1n(n?1)(n?2)? § 2 常数项级数的审敛法
一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性 1、判定级数 ?1的敛散性
(3n?2)(3n?1)n?1???1111 解：由于<2 ,而?2收敛，故?收敛
(3n?2)(3n?1)nn?1(3n?2)(3n?1)n?1n2、判定敛散性 ?n?1?1nnn
n?(n?1).12n?1??2 nn??1111 故n>,而级数?发散，故?发散
n2n2nnnn?1n?1nn 解： nn= nn.1.1.....1?3、判定敛散性 ??1 (a?0) nn?11?a? a?1, 收敛; 0?a?1, 发散
nen4、判定敛散性 ? (收敛); 2?n3n?2nen?11?ne 二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性
3n.n!5、判定级数?n的敛散性
n?1n??an?133n.n!?>1,所以?n发散 解：limn??aen?1nn4n6、判定级数?n的敛散性 n5?3n?1??an?144n??1，所以?n 解：lim收敛 nn??a55?3n?1n 7、 ?n.tann?1??2n?1 收敛
an 8、 ?() ，a?1 收敛
n?1n?1?n三、判别下列级数是否收敛。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 7、?(?1)n?1?n?1n3n?1 （绝对收敛）
10、
n?1?(?1)n?1(n?1?n) （条件收敛）
??四、判定?n?1n3sin2n?3是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛 n
n?n?3nsin??n3n33绝对收敛 3解：||?n，用比值判别法知?n收敛,所以?nn222n?1n?12 §3 幂级数
n3sin