6、求圆柱体x2?y2?2Rx包含在抛物面x2?y2?2Rz和xoy平面之间那部分立 体的体积
123?R32 解：V??? (x?y)dxdy?2R4x2?y?2Rx 第九章 自测题
一、选择题: （40分） 1、?dx?011?x0f(x,y)dy=( )
1?x0 A?dy?f(x,y)dx B ?dy?00111000111?x0f(x,y)dx f(x,y)dx.
D C ?dy?f(x,y)dx D?dy?1?y0 2、设D为x2?y2?a2,当a?( )时,??a2?x2?y2dxdy??. A 1 B 3331 C 3 D 3 2423、设I???(x2?y2)dxdy,其中D由x2?y2?a2所围成,则I=( B ).
D2?a2?a1 A?d??a2rdr??a4 B?d??r2?rdr??a4;
000022?a2?a2 C?d??r2dr??a3 D?d??a2?adr?2?a4.
00003 4、设?是由三个坐标面与平面x?2y?z=1所围成的空间区域,则
???xdxdydz=( ).
?1111 B ? C D ? .
24482448z2x2y2 5 、设?是锥面2?2?2(a?0,b?0,c?0)与平面x?0,y?0,z?c所围成的
cabxydxdydz=( ). 空间区域在第一卦限的部分,则???z?1111 Aa2b2c B a2b2b C b2c2a D cab.
36363636 6、计算I????zdv,?为z2?x2?y2,z?1围成的立体,则正确的为( )和（）
A
? A I??d??rdr?zdz B I??d??rdr?zdz
00000r2?112?11 C I??d??dz?rdr D I??dz?d??zrdr.
00r0002?1112?z 7、曲面z?x2?y2包含在圆柱x2?y2?2x内部的那部分面积s?( )
A 3? B 2? C 5? D 22?.
8、由直线x?y?2,x?2,y?2所围成的质量分布均匀(设面密度为?)的平面薄板,关于x轴的转动惯量Ix=( ).
A 3? B 5? C 4? D 6?
二、计算下列二重积分:（20分）
1、??(x2?y2)d?,其中D是闭区域:0?y?sinx,0?x??. (?2?D40) 92、??arctand?,其中D是由直线y?0及圆周x2?y2?4,x2?y2?1,y?x所围
Dyx 成的在第一象 限内的闭区域 . (
32
?) 64
3、??(y2?3x?6y?9)d?,其中D是闭区 域:x2?y2?R2 (
D?4R4?9?R2)
5?.) 2D三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）
4、??x2?y2?2d?,其中D:x2?y2?3. ( 1、?dy?012y0f(x,y)dx??dy?133?y0f(x,y)dx (?dx?x023?xf(x,y)dy)
2 2、?dx?011?1?x2xf(x,y)dy
22y?y210(?dy?f(x,y)dx??dy?00a1y2f(x,y)dx)
a 3、?d??f(rcos?,rsin?)rdr (?d??f(rcos?,rsin?)rdr)
0000??四、计算下列三重积分:（15分）
1、???ycos(x?z)dxdydz,?:抛物柱面y?x及平面y?o,z?o,x?z???2所围
成的区域 (
1?) 1622、???(y2?z2)dv,其中?是由xoy平面上曲线y2?2x绕x轴旋转而成的曲面与
??2250?) 3xyz五、（5分）求平面???1被三坐标面所割出的有限部分的面积 .
abc122ab?b2c2?c2a2) (211y11六、（5分）设f(x)在[0,1]上连续,试证: ???f(x)f(y)f(z)dxdydz?[?f(x)dx]3
0xx60 平面x?5所围 (
F(x)??f(t)dt,则F?(x)?f(x)0x且F(t)??f(x)dx,F(0)?001
1x?0?x?xf(x)f(y)f(z)dxdydz??f(x)dx?f(y)[F(y)?F(x)]dy?
011y1
1?011111f(x){[(F2(1)?F2(x)]?F(x)F(1)?F2(x)}dx=F3(1)?F3(1)?F3(1)=F3(1)
22626
第十章 曲线积分与曲面积分 § 1 对弧长的曲线积分
1设 L关于x轴对称，L1表示L在x轴上侧的部分，当f?x,y?关于y是偶函数时，
?f?x,y?ds?
LA.0 B. 2?f?x,y?ds C. ?2?f?x,y?ds D.ABC都不对
L1L12、设L是以点A?1,0?,B?0,1?,C??1,0?,D?0,?1?为顶点的正方形边界,则?Ldsx?y=
A. 4 B.2 C. 42 D. 22
t2t33、有物质沿曲线L：x?t,y?,z??0?t?1?分布，其线密度为??2y,，则它
23 的质量m?
1241211 A.?t1?t?tdt B.?t001?t?tdt C.
24?01?t?tdt D.
24?0t1?t2?t4dt
4．求?xds,其中L为由y?x,y?x2所围区域的整个边界
L解：?011y1?dy?4y1?02xdx?12 55?1?122??5．?yds,其中L为双纽线(x2?y2)2?a2(x2?y2)(a?0)
L解：原积分=4?yds?4?r???sin?r?rd??4a4?2'22L10???40sin?d??2a22?2
??6．?x2?y2ds, 其中L为x2?y2?axL??a?0?
原积分=2?2?acostadt?2a2
027．?x2ds,其中L为球面x2?y2?z2?a2与平面x?y?0的交线
L解：将x?y代入方程x2?y2?z2?a2得2x2?z2?a2于是 L的参数方程：x?原积分=?2?a2cost,y?a2sint,z?asint，又ds?adt
0a2?cos2tadt?a3 228、求均匀弧x?etcost,y?etsint,z?et????t?0? 的重心坐标
0ds?3edt,M?t???13edt?3，x0?Mt0???etcost3etdt?211，y0??,z0? 552
§2 对坐标的曲线积分 一、选择题
1.设L关于x轴对称，L1表示L在x轴上侧的部分，当P?x,y?关于y是偶函数 时，?P?x,y?dx? A.0 B. 2?P?x,y?dx C.?2?P?x,y?dx D.ABC都不对
LL1L12．设L为x?y?1的正向，则?Lxdx?ydy? A.0 B.4 C.2 D.-2 x?yx2?y2? A.2?3．L为x2?y2?a2的正向，?L(x?y)dx?(x?y)dy B.-2? C.0 D.?
二、计算
1．?x2?y2dx?x2?y2dy，其中L由曲线y?1?1?x?0?x?2?从
???? A?2,0?到O?0,0?方向
解：B?1,1?AB:y?2?x,x:2?1;BO:y?x,x:1?0
_______LI?___??____????x212??2?x?dx?x??2?x?2??2???1?dx???x102?x2dx???4 3ABBO2．?x2?y2dx?y(xy?ln(x?x2?y2)dy 其中L是正向圆周曲线
L?? x2?y2?a2
解： 由奇偶对称性
?Lx2?y2dx?0，L：x?acost,y?asint,t:????
?23I?????a4sintcostdt?asintcostln?a?1?cost??dt?2???a4asintcostdt??
4422
3．?xdx?ydy??x?y?1?dz其中为从点A?1,1,1?到B?2,3,4?的有向线段
? 解：?方程：x?t?1,y?2t?1,z?3t?1，
I???14t?6?dt?13
01三、过O?0,0?和A?,0的曲线族y?asinx?a?0?，求曲线L使沿该曲线从O?0,0?到
A??,0?的积分??1?y3?dx??2x?y?dy的值最小
???解：I?a???1?a3sin3x??2x?asinx?acosxdx???4a??L?I'?a??4a?1?0,?a?1?I''?1??8?0。a?1, I?a?最小，此时 y?sinx
?0243a 3?四、空间每一点处P?x,y,z?有力F?x,y,z?，其大小与P?x,y,z?到z轴的距离成反比，方向垂直指向z轴，试求当质点沿圆周x?cost,y?1,z?sint从点M?1,1,0?到
?N?0,1,1?时，力F?x,y,z?所作的功
解：由已知F?x,y,z??{??kxx?y22,?2?kyx?y22,0}
W??xL?kx2?y2dx??kyx2?y2dy??cos0?kcost2t?1dcost?kln2 2五、将积分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy化为对弧长的积分,其中L 沿上半圆周
x2?y2?2x?0从O(0,0)到B(2,0).
解：y?2x?x2,dy?1?x2x?x2dxds?1?y?2dx?12x?x2dx
cos??dx?ds2x?x2,cos??dy?1?x，于是 ds2x?x2?Q(x,y)(1?x)?ds
???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy???P(x,y)L??
§3 格林公式及其应用
一、选择题