1、设幂级数?anxn在x=3处收敛，则该级数在x=-1点处（ ）
n?0?A 绝对收敛 B 条件收敛 C发散 D 可能收敛也可能发散
?(?1)n?1(x?2)n的收敛域 （0，4] 2、级数?n?1nn?12?(?1)nn13、 求幂级数?[nx?3nxn]的收敛半径 （）
32n?14、若级数?an(x?2)n在x=-2处收敛，则此级数在x=5处是否收敛，若收敛，是
n?1?否绝对收敛 （绝对收敛 ）
?(x?5)2n?15、求幂级数?的收敛域 n2n?4n?1解：首先判断其收敛区间为（-7，-3），当x=-7、-3时，级数发散，所以级数的收 敛域为（-7，-3）
?(?x)n6、求幂级数?n?1的收敛域
3nn?1解：首先求得收敛区间为（-3，3），而级数在x=-3处发散，在x=3处收敛，所以 收敛域为（-3，3]
x4n?111?x17、求幂级数?的和函数 （ ln?arctanx?x -1 41?x2n?14n?1?8、求幂级数?n(n?2)xn的和函数 n?1?d2?n?1d?n解：?n(n?2)x??n(n?1)x??nx?x2(?x)?x(?x) dxn?1dxn?1n?1n?1n?1x(3?x) = （-1 11、将函数f(x)=2展开成x的幂级数 x?3x?211?解：f(x)= (1?x)(2?x)?111和的幂级数展开式可得f(x)= ?(1-n?1)xn x?(?1,1) 由 2(1?x)(2?x)n?1?n?n?n2、将函数f(x)=ln(x?1?x2)展开成x的幂级数 1111.34x?..... x?[?1,1] 解：f'(x)? 而=1?x2?2222.41?x1?x两边积分得ln(x?1?x)?x??(-1)n2n?1?(2n-1)!!x2n?1 x?(?1,1) nn!2(2n?1)3、将函数f(x)=解：f(x)= 1展开成x的幂级数 (1?x)(1?x2)(1?x4)(1?x8)1?x?(1?x)(1?x16)(1?x32)?.....?1?x?x16?x17?x32?x33?...... 161?xx4、将函数f(x)=2展开成x-5的幂级数 x?5x?6?3232?解： f(x)= =?(-1)n(n?1-n?1)(x-5)n x?(3,7) 2?(x?5)3?(x?5)n?123(?1)n?1x2n?1的和函数展开成(x?1)的幂级数．5、将级数?n?1? (2n?1)!n?12??(?1)n?1x2n?1(?1)n?1x2n?1xx?1?1?2?()?2sin解：?n?1?=?2sin (2n?1)!222n?12n?1(2n?1)!1x?11x?1?2sincos?2cossin 22221?(?1)n1?(?1)n2n?2sin(x?1)?cos(x?1)2n?1??nn x?R 2n?02?(2n)!2n?02(2n?1)!? §5函数幂级数展开式的应用 1、计算ln2的进似值（要求误差不超过0.0001） 111解：在lnx的幂级数展开式中令x=2 ln2=1-???.......(?1)n?1?.... 234 考虑误差范围可求得ln2?0.6931 122?x2edx的进似值（要求误差不超过0.0001） 2、计算定积分?0?解：e2?x212nx =?(?1)n!n?0n???120e?x2dx?2??120[?(?1)nn?0?12n111x]dx=(1?2?4?......) n!2.32.5.2!?120再考虑误差范围可求得3、计算积分?12??e?xdx?0.5205 2sinxdx的进似值，（要求误差不超过0.0001） 0x1sinxsinxx3x4111?1???.... ?dx?1????..... 0x3!5!x3.3!5.5!7.7!sinxdx?0.9461 0x §7 傅里叶级数 1、设f(x)是周期为2?的周期函数，它在[-?,?)上的表达式为 ???,???x?0f(x)=? 试将f(x)展开成傅立叶级数 ?x,0?x??再考虑误差范围可求得?1解：a0?bn= 11?????f(x)dx???2 an?1?????f(x)cosnxdx?1n2?[(?1)n?1] ?????1f(x)sinnxdx?[1?2(?1)n] n再将所求得的系数代入傅立叶级数可得傅立叶级数展开式 2、将函数f(x)???x2???x2,(0?x??)展开成正弦级数 (1??sinnx,(0,?]) n?1n3、将函数f(x)?x2?1, x?1?1?2(0?x??)展开成正弦级数和余弦级数 2n2?n?1?[?n3?(?1)?(2n3??2n)]sinnx,[0,?)) ?121 x?1?1???4?(?1)n2cosnx,[0,?) 3nn?12§8 一般周期函数的傅立叶级数 1、将f(x)=2+|x|(-1?x?1)展开成以2为周期的傅立叶级数后求?54解：展开f(x)=?22??cos(2n?1)?x1?2 代x=0得? ??22(2n?1)8(2n?1)n?0n?0?1的值 2nn?0? ?n?0????1111?2+? 得 ?2? 2=?22n6(2n?1)(2n)nn?0n?0n?0 2、将f(x)=x-1(0?x?2)展开成周期为4的余弦级数 22n?x422解：a0??(x?1)dx?0 an??(x?1)cosdx?22[(?1)n?1] 2202n?1(2k?1)?xcos (0?x?2) ?2?2k?1(2k?1)23、将f(x)=x-1(0?x?2)展开成周期为4的正弦级数的和函数为s(x)，求s(8) f(0?0)?f(0?0)1?1解：s(8)=s(0)=??0 221x?[0,]?a0?x24、设f(x)=?，S(x)= ??ancosn?x,x?R, f(x)= 8??2?2xx?(12n?12,1)其中a17n=2?0f(x)cosn?xdx,n?0,1,2,3.....求S(2) 解：S(7f(1?0)?f(1?0)2)=S(12)=222=34 第十一章 自测题 一选择题:（40分） 1、下列级数中,收敛的是( ). ??? (A)1； (B)n?1n?1； n?1nn? (C)?1?； (D)?(?1)n2. n?13nn?12、下列级数中,收敛的是( ). ? (A) ?(5)n?1?； (B)?(4)n?1； n?14n?15? (C)?(?1)n?1(5?)n?1； (D)54n?14?(?)n?1. n?1453、下列级数中,收敛的是( ) ? (A)?(n!)2?3nn!2n2； (B)?n； n?1n?1n?? (C) ?1?n?12sinn?2nn； (D)?. n?1n(n?2)?4、部分和数列?sn?有界是正项级数?un收敛的( ) n?1 (A)充分条件； (B)必要条件； (C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 ?5、设a为非零常数,则当( )时,级数?arn收敛 . n?1 (A)r?1； (B)r?1； (C)r?a； (D)r?1 (x?1)n6、幂级数?(?1)的收敛区域是( ). nn?1 (A) (0,2]；(B) [0,2)； (C) （0,2） (D) [0,2] ?n?17、limun?0是级数?un收敛的( ) n??n?1? (A)充分条件； (B)必要条件； (C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 8、幂级数?n(n?1)xn的收敛区间是( ) n?1? (A) (?1,1]； (B) (?1,1)； (C) [?1,1)； (D) [?1,1]. 二、（8分）判别下列级数的收敛性 ?(n!)1、?2； 2、?n?12nn?1?n?1三、（6分）判别级数?(?1)nln的敛散性 . nn?1?2ncos22nn?3 四、（6分）求极限 lim[2?4?8???(2)] . n??13191271n3n五（8分）求下列幂级数的收敛区间: ??3n?5nnnx； 2、?nx2n. 1、?nn?1n?12xn六（6分）求幂级数?的和函数 . n(n?1)n?1?n2七（6分）求数项级数?的和 . n?1n!1八（6分）试将函数展开成x的幂级数. (2?x)2九（6分）设f(x)是周期为2?的函数,它在[??,?]上的表达式为 ?0,x?[??,0) f(x)??x将f(x)展开成傅立叶级数 . e,x?[0,?)??1,0?x?h十（8分）将函数f(x)??分别展开成正弦级数和余弦级数 . ?0,h?x?? 自测题答案 一、1、B； 2、B； 3、C； 4、C； 5、D； 6、A； 7、B； 8、B. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛. ?