2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究
于或小于0时自变量的取值范围．
【知识梳理】
1．二次函数解析式的求法：
[来源学。科。网Z。X。X。K]
提示 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0）与a、b、c及其代数式的关系：a>0，开口向上；a<0，开口向下，对称轴为直线x＝－
(1)若给出抛物线上三点，通常可设一般式：________(a≠0)．
(2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：________（a≠0），其中点（h，k）为顶点，对称轴为直线x＝h．
(3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、（x2，0)及其他一个条件，通常可设交点式：_______(a≠0)．其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标．
2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当给定y的值时，二次函数可转化为一元二次方程，所以我们可ax2＋bx＋c＝_______．
3．当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点．
4．当b－4ac＝0时，方程ax＋bx＋c＝0(a≠0）有两个相等的实数根，则二次函数y＝ax＋bx＋c的图象与x轴有_______交点．
5．当b2－4ac－<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）没有实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴_______交点．
【考点例析】
考点一 二次函数的各项系数与图象之间的关系
例1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0；②b2－4ac<0；③4a－2＋c<0；④b＝－2a，其中结论正确的是 ( )
A．①③
B．③④
C．②③
D．①④
2
2
2
b，当a，b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的2a右侧，抛物线与y轴的交点为(0，c)，c>0，与y轴正半轴相交；c<0，与y轴负半轴相交；c＝0，过原点．根据以上这些知识要点解决问题． 考点二 求二次函数的解析式
例2 (1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式． ①y随x变化的部分数值规律如下表：
②有序数对(－1，0)、(1，4)、(3，0)满足y＝ax2＋bx＋c； ③已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．
(2)直接写出(1)中二次函数y＝ax2＋bx＋c的三个性质．
提示 (1)利用待定系数法得到有关a、b、c的方程组，从而得到该函数的解析式；(2)结合二次函数解析式可写出相应的性质．
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考点三 利用图象求一元二次方程的解
w w w .x k b 1.c o m C． x<－1且x>5 D． x<－1或x>5
提示 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，其对称轴为直线x＝2，所以该抛物线与
x轴的两交点关于直线x＝2对称，已知一交点为(5，0)，且与直线x＝2的距离为3，所以另一交点在对称轴左侧，与直线x＝2的距离也为3，因此另一交点为（－1，0）．
【反馈练习】
1．已知抛物线y＝x3－x－1，与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2011的值为 ( )
课标xk b1. c om新w w w .x k b 1.c o m例3二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根．则m的最大值为 ( )
B．2012
C．2011
D．2010
A．－3
B．3
C．－6
D．9
A．2009
2．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过 ( ) A．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限
B．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
提示 方法一：由ax2＋bx－m＝0得ax2＋bx＝－m，一元二次方程ax＋bx＋m＝0有实数根，得函数y＝ax2＋bx与函数y＝－m有交点，所以－m≥－3，m≤3，从而求出m的最大值．方法二：因为一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，所以b2－4am≥0．由y＝ax2＋bx的图象可得顶点的纵坐标，故
0?b2＝－3，即b2＝12a，所以12a－4am≥0，解得m≤3．从而求出m的最大值． 4a考点四 二次函数图象与坐标轴的交点个数
例4抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是 ( )
B．2
C．1
D．0
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝－是 ( ) A．abc>0 C．2b＋c>0
B．a＋b＝0 D．4a＋c<2b
A．3
1，下列结论中，正确的2 提示 令－3x2－x＋4＝0，根据b2－4ac与0的比较得到与x轴的交点个数，再令x＝0得到与y轴的交点个数．
考点五 二次函数图象与不等式的关系
例5如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是 ( )
4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为_______． 5．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－
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x＋bx＋c的图象经过B、C两点． 3(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．
A．－1 B．x>5 27 2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究 (1)设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变量，y为x的________． (2)列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式． (3)定：根据数学意义和实际意义确定自变量的取值范围． 6．如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． (1)求点B的坐标； (2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式； (3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． (4)解：利用相关性质解决问题． (5)答：检测后写出合适的答案． 2．利用一次函数解决实际问题： 一次函数的实际应用关键在于通过建立一次函数模型，去解决实际问题，其基本解题思路是：问题情境→建立模型→解决问题→拓展应用． 3．利用反比例函数解决实际问题： 实际问题中的反比例函数限于实际问题的要求，其函数值与自变量的值均为_______，这就决定了其函数图象只能是双曲线的两个分支中位于第一象限内的部分，据此情况来具体分析．它的基本解题思路与一次函数类似． 【考点例析】 考点一 一次函数的实际应用 例1星期天8：00－8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气，注完气之后，一位工作人员以每车20米3的加气量，依次给在加气站排队等侯的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系如图所示． (1)8：00～8：30，燃气公司给储气罐注入了_______米3的天然气； 第14课时 函数的应用（一） 【复习目标】 1．能够从运动变化中发现变量，建立函数模型．体会数学来源于生活． 新*课标*第*一*网 (2)当x≥8.5时，求储气罐中的储气量y(米3)与时间x（小时）之间的函数解析式； (3)正在等候的第20辆车加完气后，储气罐内还有天然气_______米3，这第20辆车在当天9：00 之前能加完气吗？请说明理由． 2．会用一次函数、反比例函数解决实际问题，初步形成数学模型的解题思想． 【知识梳理】 1．用函数知识解决实际问题的步骤： 28 2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究 提示 (1)认真观察图象获取有用的信息；(2)利用待定系数法确定函数解析式：(3)根据一次函数解析式及图象中的信息解决问题． 例2 (德州)现从A、B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜．A、B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨．从A到甲地运费为50元，吨，到乙地为30元/吨；从B地到甲运费为60元／吨．到乙地为45元／吨． (1)设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表： 提示 由矩形的面积公式，得xy＝9，可知它的长x与宽y之间的函数关系式为y＝比例函数的图象，且其图象在第一象限． 例4据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预 9(x>0)，是反x防“手足口病”，对教室进行“药薰消毒”，已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x(分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部 (2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式； (3)怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 提示 (1)A处共有14吨，运到甲地x吨，则运到乙地(14－x)吨．甲地共需15吨，A运x吨，则B运(15－x)吨，乙地需要蔬菜13吨，A运了(14－x)吨，B需要运13－(14－x）＝(x－1)吨；(2)用每吨的运费分别乘以相应的重量即可；(3)由于A、B到甲、乙两地运送蔬菜的重量为非负数，据此可求出x的取值范围．再根据⊥随x的增大而变化的情况，代入相应的x求最小值即可． 考点二 反比例函数的实际应用 例3矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为 ( ) 提示 (1)首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，用待定系数法可得函数的关系式，进一步求解可得答案；(2)根据反比例函数的性质求解即可． 29 分），根据图象所示信息，解答如下问题： (1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？ 2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究 xkb1.com(1)求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）； (2)如果每月按30天计算，那么至少每天要卖多少份，才能保证每月收入不低于2000元？ 新_课_标第_一_网【反馈练习】 1．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系．其函数图象如图所示，则电流强度I(A)与电阻R(Ω)的函数解析式是 ( ) B．I＝ 5．在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通，下图是甲、乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： [来源学。科。网Z。X。X。K]2(R>0) R6 C．I＝ (R>0) R A．I＝ 3 (R>0) R6 D． I＝－（R>0） Rk2．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x(m)成反比例[即y＝（k≠0）]，已知200度近视眼镜的镜片 x焦距为0.5 m，则y与x之间的函数关系式是_______． 3．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年人活动中心，这样必须把1 200m3的生活垃圾运走． (1)假如每天能运x m3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式； (2)若每辆拖拉机一天能运12 m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ (3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ xkb1.com (1)乙工程队每天修公路多少米？ (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式； (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 4．小丁每天从报社以每份0.5元买进报纸200份，然后以每份1元卖给读者，卖不完，当天可退回，但只按0.2元退回，如果平均每天卖出x份，纯收入为y元． 第15课时 函数的应用（二） 【知识梳理】 30