2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究
1．利用二次函数解决“图形最值”问题的一般过程： (1)将实际问题转化为________． (2)利用二次函数的________解题．
2．利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般过程： (1)将利润表示成_______的二次函数．
(2)利用二次函数的最值求出利润的最_______值． (3)写出答案．
3．二次函数应用的常用数学思想有________．
【考点例析】
考点一 利用二次函数求最大利润
例1某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可买出180件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元．设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
提示(1)销售利润＝每件商品的利润3（180－103上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；(2)利用公式法结合(1)得到的函数解析式，从而可得二次函数的最值，再结合实际意义，求得整数解即可；(3)让(1)中的y＝1920，解方程求出x的值．
考点二 利用二次函数求最大面积
(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x之间的函数关系．并求出函数关系式．
(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少（利润＝销售总价－成本总价）?
(3)菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元／件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
例2小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x cm的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(cm2)随x( cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当x是多少时，这个三角形的面积S最大？最大面积是多少？
提示 三角形的边x和这条边上的高之和是40 cm，则该边上的高为(40－x)cm根据三角形的面积公式可写出S＝
[来源:学+科+网Z+X+X+K]12x2(40－x)，这个二次函数的顶点坐标分别对应x及S的最大值． 2
考点三 二次函数与其他函数的综合应用
例3 2012年牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元／件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
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【反馈练习】
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提示 (1)把表格中的点在平面直角坐标系中画出来，可知这个函数是一次函数，所以设函数关系式为y＝kx＋b，利用待定系数法求出函数的解析式；(2)利润的最大问题是通过二次函数的知识来解决
1．某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，那么每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）．设每件商品的售价上涨x元(x为整数)．每个月的销售利润为y元．
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的，列出利润与销售单价之间的二次函数关系式，然后根据最值问题求解；(3)利用二次函数的性质解题．
考点四 二次函数与几何图形的综合应用
例4如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE．垂足为P，PE交CD于点E．
(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(3)连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．
(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少时．每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
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2．如图，在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x cm (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
(2)某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积5最大，试问，应取何值？
提示 (1)在Rt△ABP中，由勾股定理求得BP的长；(2)∵AP⊥PE，易知Rt△ABP∽Rt△PCE，从而构建了y与x的函数关系式．再利用配方法求得y的最大值；(3)由PE∥BD可知△CPE∽△CBD，从而利用相似三角形构建方程解题．
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3．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元／个）之间的对应关系如图所示．
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(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)若许愿瓶的进价为6元／个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元／个）之间的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
知道原命题成立其逆命题不一定成立．
【知识梳理】 1．几个重要概念：
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(1)线段、射线、直线：线段有_______个端点．将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有_______个端点．将线段向两个方向无限延伸，就得到直线，直线_______端点． (2)线段的中点：把一条线段分成两条________线段的点．
(3)线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且_______这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．
(4)角：由两条有公共端点的_______组成的图形；也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
新课 标第 一 网 第16课时 相交线与平行线
1．了解直线、射线、线段、角的概念及性质；会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；会计算角的和与差，会对度、分、秒进行简单的换算．
2．了解余角、补角、对顶角、垂线、垂线段、点到直线的距离的概念，理解等角（或同角）的余角（或补角）相等，理解垂线的性质．
3．能识别同位角、内错角、同旁内角，理解平行线的性质和判定，会运用相关知识进行作图、计算及推理．
4．了解平行于同一条直线的两条直线平行．
5．会用尺规作一条线段等于已知线段．一个角等于已知角，角的平分线，线段的垂直平分线． 6．会用三角尺或量角器过一点作一条直线的垂线；会用三角尺和直尺过已知直线外一点作这条直线的平行线．
7．会利用基本作图作三角形：已知三边或两边及其夹角或两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形． 8．通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义．
9．结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，
(5)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成_______的两个角的射线，叫做这个角的平分线． (6)如果两个角的和等于_______，那么这两个角互为余角，也就是说其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于_______，那么这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． (7)方位角：从某点的指北方向线起，按顺时针方向到_______之间的水平夹角．
(8)对顶角、邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，不相邻的两角是_______，相邻的两角是_______． (9)垂线：当两条直线相交所构成的四个角中，有一个角是_______时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
(10)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的_______，叫做点到直线的距离． (11)平行线：在同一平面内，不_______的两条直线叫做平行线． 2．几个重要结论：
(1)直线公理：两点确定_______条直线． (2)线段公理：两点之间，_______最短． (3)角的度量：1°＝________'，1'＝_______\．
(4)余角、补角的性质：_______的余角相等，同角或等角的补角________． (5)对顶角的性质：对顶角_______．
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(6)垂线的性质：过一点______________与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_______最短．
(7)平行公理及推论：经过直线外一点，有_______条直线与已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也_______．
(8)平行线的判定：_______相等，两直线平行；_______相等，两直线平行；_______互补，两直线平行．
(9)平行线的性质：两直线平行，________相等；两直线平行，_______相等；两直线平行，________互补． 3．尺规作图：
(1)限定只能使用_______和没有_______的直尺作图称为尺规作图．
(2)5种基本作图包括：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的平分线；④作已知线段的_______；⑤过一点作已知直线的_______． 4．命题：
(1)_______________叫命题，经过证明的_______叫做定理．
(2)每个命题都由_______和________两部分组成．命题________般都可以写成________的形式． (3)_______________叫真命题，_______叫假命题．
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提示 如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角．根据定义可知，70°角的补角是110°，110°的角是一个钝角（大于直角而小于平角）．
X kB1.cOM考点三 平行线的判定与性质
例3 如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝_______．
提示 如图，由∠1＝∠3知a∥b，从而得∠2＝∠5＝59°．又由图可知∠4＋∠5＝180°，从而可求得∠4的度数．
例4 如图，a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3的度数为 ( )
A．100°
B．105°
C．110°
D．115°
提示 观察图形无法得出∠1、∠2、∠3之间的关系，平行线的性质也无法直接使用，因此过点B作BC∥a，借助辅助线求得． 考点四 方位角
例5如图，小明在操场上从A点出发．先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是 ( ) A．120°
B．135°
C．150°
D．160°
(4)把一个命题的_______和_______互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题． (5)判断一个命题是假命题，只需_______．原命题成立，它的逆命题_______成立．
【考点例析】
考点一 与直线（射线、线段）相关的概念和计算
例1已知线段AB＝8 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3 cm，则线段AC＝________．
提示 首先把方、向角转化为数学上的角，由题意可知∠DAB＝30°，∠EBC＝60°，根据∠ABC＝∠ABG＋∠GBF＋∠FBC即可求得∠ABC的度数． 考点五 尺规作图
例6已知：线段a．c，∠a，
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠a
提示 由于是在直线AB上画线段BC，BC可能画在线段AB的外部，也可能画在线段AB上，所以要分类讨论．
考点二 与角有关的概念和计算
例2下列四个角中，最有可能与70°角互补的是 ( )
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2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究
提示 先作∠B＝∠a，再在角的两边截取BC＝a，AB＝c，最后连接AC即可． 考点六 命题
例7下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1，则a>1”是假命题的反例是 ( ) A．a＝－2
B．a＝－1
C．a＝1
D．a＝2
提示 本题考查了命题，举反例即找一例使之满足命题的题设，但不满足命题的结论．
【反馈练习】
1．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是 (
A．以点C为圆心，OD长为半径的弧 B．以点C为圆心，DM长为半径的弧 C．以点E为圆心，OD长为半径的弧xkb1.com
D．以点E为圆心，DM长为半径的弧 2．下列命题为假命题的是 ( ) A．三角形三个内角的和等于180° B．三角形两边之和大于第三边
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C．三角形两边的平方和等于第三边的平方．
D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半 3．如图，直线a与直线c相交于点O，∠1的度数是 ( )
A．60°
B．50°
C．40°
D． 30°
4．如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为 ( ) A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
5．(1)已知∠a的补角是130°，则∠a＝________； (2)一个锐角是38°，则它的余角是_______．
6．如图，已知∠1＝∠2，则图中互相平行的线段是_______．
7．如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝_______． )
第17课时 三角形
【课时目标】
1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念及性质，了解三角形的稳定性，会画任意三角形的角平分线、中线、高．
2．探索并证明三角形的三边关系、三角形的内角和定理及外角性质，并会对三角形进行分类，会进行有关证明和计算．
3．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，角平分线的性质定理及逆定理．
4．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理与判定定理；探索等边三角形的性质定理与判定定理，并会进行有关证明和计算．
5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理． 6．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．
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