2015年数学第一轮复习学案 夯实基础 典例探究
【知识梳理】
1．三角形中三边的关系：
三角形任意两边之和________第三边；任意两边之差_______第三边． 2．三角形中角的关系：
(1)三角形的内角和等于________．
(2)三角形的一个外角等于与它_______的两个内角的 (3)三角形的一个外角________与它_______的任何一个内角．3．三角形中的三条重要线段：
(1)三角形的角平分线、中线、高各有_______条，它们都是________．
(2)三角形三条角平分线、三条中线均相交于三角形_______部的一点；三角形的三条高相交于一点，这一点可能在三角形的内部（锐角三角形）、顶点（直角三角形）或外部（钝角三角形）．
4．线段垂直平分线的性质与判定：线段垂直平分线上的点到_______相等；到_______的点在这条线段的垂直平分线上．
5．角平分线的性质与判定：角平分线上的点到_______相等；到_______的点在这个角的平分线上． 6．等腰（边）三角形：有______________的三角形叫等腰三角形；有三条边相等的三角形叫________． 7．等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形的两底角_______，简称为________．
(2)等腰三角形的________、________、________相互重合，简称等腰三角形的“三线合一”． (3)等腰三角形是_______图形，其对称轴是_______．
8．等边三角形具有等腰三角形的一切性质，同时还具有以下性质： (1)等边三角形的三个内角_______，每个角都等于________．
(2)等边三角形是_______图形，其对称轴有_______条，分别是________． 9．等腰三角形的判定：
(1)有两边相等的三角形是________．
(2)在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边_______，简称为________． 10．等边三角形的判定：
[来源学科网Z|X|X|K] (1)有三条边相等的三角形是_______． (2)三个角_______的三角形是等边三角形． (3)有一个角是_______的等腰三角形是等边三角形． 11．直角三角形的性质：
(1)直角三角形的两个锐角________． (2)直角三角形斜边上的中线等于________．
(3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于________． (4)勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即________． 12．直角三角形的判定：
(1)有一个角是_______角或两锐角_______的三角形是直角三角形．
(2)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是_________．
【考点例析】
考点一 三角形中三边的关系
例1若下列各组值代表线段的长度，则不能构成三角形的是 ( ) A．3，8，4
B．4，9，6
C．15，20，8
D．9，15，8
[来源:Z*xx*k.Com]
提示 根据三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边进行判断．
例2 等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为 ( )
B．18
C．20
D．16或20
A．16
提示 已知等腰三角形的两边长，但没指出哪个是腰哪个是底，故应该分类讨论． 考点二 三角形内角和定理
例3一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是 ( )
X kB1.cOM A．等腰三角形 C．锐角三角形
B．直角三角形 D．钝角三角形
提示 利用三角形内角和定理求出三角形中的角，再判断三角形的形状． 考点三 三角形内角和定理与外角性质的综合运用
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例4如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_______°．
提示 要求∠AEC的度数，只需求出∠CAE＋∠ACE 的度数，由于AE、CE分别平分∠DAC、∠ACF，因此只需求 出∠DAC＋∠ACF的值，此时利用外角性质可知∠DAC＋ ∠ACF＝180°＋∠B，从而解决了问题． 考点四 线段垂直平分线的性质．
例5如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为_______°．
A．6
B．7
C．8
D．9
提示 由角平分线和平行线可得到等腰三角形，从而将MN的长度转化为BM＋CN的长． 考点七 等腰三角形的判定
例9如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．求证： (1) BC＝AD；
(2)△OAB是等腰三角形．
提示 通过观察不难发现△ACB△BDA，从而得出
BC＝AD，及∠CAB＝∠DBA，进而推出△OAB是等腰三角形．
考点八 勾股定理及直角三角形性质的应用
例10如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1．AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长
提示 要求∠EBC的度数可利用∠EBC＝∠ABC－∠ABE得到．由AB＝AC，∠A＝36°，利用三角形内角和可求得∠ABC的度数，由线段垂直平分线得到AE＝BE，从而有∠ABE＝∠A，问题顺利解决．
考点五 角平分线的性质
例6 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D．若CD＝4，则点D到AB的距离是_______．
提示 因为D在∠BAC的平分线AD上，∠C＝90°，所以点D到AC的距离与到AB的距离相等． 考点六 等腰三角形的性质
例7 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝_______°． 提示 根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边土的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），可求得∠BAD的度数，
例8 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为 ( )
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为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为 ( )
A．(2，0)
B．(5－1，0) D．(5，0)
新课标第一网
C．（10－1，0）
提示 在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC的长，根据作图可知AC＝AM，从而得到点M的坐标．
例11勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3．AC＝4，点D、E、F、G、H、I都在矩
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形KlM⊙的边上，则矩形KlM⊙的面积为 ( ) A．90
B．100
C．110
D．121
F．
w w w .x k b 1.c o m
(1)求证：△ABE≌△CAD； (2)求∠BFD的度数．
提示 延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AO1P是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KlM⊙的长与宽，最后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【反馈练习】
1．如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是 ( ) A．2
B．3
C．4
D．1 8
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是 ( )
第18课时 全等三角形
【课时目标】
A．
C．
1．通过画图和实验了解全等三角形的概念；能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质进行计算或推理．
[来源学+科+网Z+X+X+K]36 5 B．
12 259 4 D．33 4
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DC＝2，则点D到AB边的距离是_______． 4．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是_______．
5．(2012．巴中)已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式c?a?b?a?b?0，则△ABC的形状为_______．
6．如图，AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB＝AC．
2222．能灵活运用“SSS\、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“Hl”来判定两个三角形全等． 3．能运用全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质与判定进行证明和计算．
【知识梳理】
1．全等三角形：能够_______的两个三角形叫全等三角形． 2．全等三角形的性质：
(1)全等三角形的_______相等． (2)全等三角形的_______相等．
(3)全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）_______，周长_______，面积________．
xkb1.com3．三角形全等的判定：
7．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点
(1)______ _________两个三角形全等(可简写成SSS)．
(2)两边和_______对应相等的两个三角形全等(可简写成SAS)．
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(3)两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成_______）． (4)两个角和_______对应相等的两个三角形全等(可简写成AAS)． (5)_______对应相等的两个直角三角形全等 (可简写成HL)．
【考点例析】
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考点一 全等三角形的性质
xk|b|1
考点三 等腰三角形、全等三角形的综合应用
例4如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF． (1)求证：△ADE≌△BFE；
例1如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，那么只需要测出其长度的线段是 ( ）
A．PO
B．PQ
C．MO
D．MQ
(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由． 提示 (1)先通过平行条件得到一对内错角相等，结合线 段中点得到线段相等，可证明两个三角形全等；(2)由角相等 的条件可证明△DFG是等腰三角形，再结合E是DF的中点， 根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论．
提示 根据全等三角形的对应边相等的性质先确定线段MN的对应边，MN的对应边就是要测量长度的线段．
考点二 三角形全等的判定
例2在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD＝DC．AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC．能得出△ABD≌△ACD的序号是_______． 提示 根据题目可知，两三角形有一条公共边，判定三角形全等的常用方法有SAS、SSS、ASA、AAS和HL．
例3如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F，求证：AC＝EF． 提示 本题证明全等的条件已经具备一组角，而由平行条 件不难得到另一组角相等，即∠CBA＝∠FDE．因此，只需要 一组边相等即可，而由已知的线段相等不难得出AB＝ED，则 全等可证．
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【反馈练习】
1．如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是 ( ) A．AB＝AC C．BD＝AC
2．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝CD．
B．∠BAC＝90° D．∠B＝45°
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3．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E，求证：BC＝ED．
4．如图，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，O是AD、BC的交点，E是AB的中点． (1)图中有哪几对全等三角形？请写出来； (2)试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．
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