实验五 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
实验五 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域
分析
一、实验目的：
1. 2. 3. 4. 5.
熟悉拉普拉斯变换与逆变换的Matlab实现方法 掌握拉普拉斯变换曲面图的绘制
了解拉普拉斯曲面图里频域与复频域的关系 了解拉普拉斯变换零极点分布对曲面图的影响 掌握系统零极点图的绘制
二、实验原理
1. 拉普拉斯变换与逆变换
连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换定义为:
F(s)??0f(t)e?stdt （6.1）
其中s???j?，若以?为横坐标（实轴），j?为纵坐标（虚轴），复变量s就构成了一个复平面，称为s平面。
显然，为了便于理解和分析F(s)随s的变化规律，可以将F(s)F(s)是复变量s的复函数，写成：
??F(s)?F(s)ej?(s) （6.2）
其中，F(s)称为复信号F(s)的模，而?(s)则为F(s)的幅角。
连续信号f(t)的拉普拉斯变换具有如下一般形式：
C(s)F(s)??D(s)?cs?dsi?1ij?1LjKj
i
若K?L，则F(s)可以分解为有理多项式与真分式之和，即
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F(s)?P(s)?R(s)?P(s)?B(s)?P(s)?A(s)?bs?asi?1ij?1NjMj
i其中，P(s)是关于s的多项式，其逆变换可直接求得（冲激信号及其各阶导数），R(s)为关于s的有理真分式，即满足M?N。以下进讨论M?N的情况。
设连续信号f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则
F(s)?B(s)B(s) ?NA(s)?(s?p)i?1i在满足M?N情况下，有以下几种情况：
（1）极点均为单重情况下，可对其直接进行部分分式展开得：
F(s)?r1rr?2???N s?p1s?p2s?pN其中，ri?(s?pi)F(s)s?p(i?1,2,?,N)称为有理函数F(s)的留数。则F(s)的拉普拉斯逆变
i换为：
f(t)??riepitu(t)
i?1N（2）有k重极点，设为p1，则部分分式展开为
F(s)?K1i可用下式求得
K11K12K1kE(s) ?????(s?p1)k(s?p1)k?1(s?p1)D(s)1di?1?(s?p1)kF(s)? K1i?i?1(i?1)!dss?p1则F(s)的拉普拉斯逆变换为：
NK1jk?jpitf(t)??teu(t)??riepitu(t)
j?1(k?j)!i?2k（3）有共轭极点
F(s)?r1rrr?2?2???N s?p1s?p2s?p3s?pN???????f2(t)设F(s)有一对共轭极点p1,2????j?，则
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r1?(s?p1)F(s)s?p1?r1ej?
r2?r1
由共轭极点所决定的两项复指数信号可以合并成一项，故有
*f2(t)?2r1e??tcos(?t??)u(t)
从以上分析可以看出，只要求出F(s)部分分式展开的系数（留数）ri，就可直接求出
F(s)的逆变换f(t)。
Matlab用符号函数laplace和ilaplace实现（单边）拉氏变换和逆变换。用符号函数求拉氏变换和逆变换的方法很简单，但有较大的局限性，而且无助于增进对概念的理解。推荐在Matlab的协助下用部分分式展开的方法求解拉氏逆变换。Matlab提供了部分分式展开的函数reside()。令A和B分别为F(s)的分子和分母多项式构成的系数向量，则函数：[r,p,k]=residue(B,A) 将产生三个向量r、p和k，其中p为包含F(s)所有极点的列向量，r为包含F(s)部分分式展开系数ri的列向量，k为包含F(s)部分分式展开的多项式的系数行向量，若M?N，则k为空。 2. 拉普拉斯变换曲面图的绘制
从三维几何空间的角度来看，F(s)和?(s)对应着复平面上的两个平面，如果能绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换F(s)随复变量s的变化规律。 上述过程可以利用MATLAB的三维绘图功能实现。现在考虑如何利用MATLAB来绘制s平面的有限区域上连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的曲面图，现以简单的阶跃信号u(t)为例说明实现过程。
我们知道，对于阶跃信号f(t)?u(t)，其拉普拉斯变换为F(s)?1。首先，利用两个向量s来确定绘制曲面图的s平面的横、纵坐标的范围。例如可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为：
x1=-0.2:0.03:0.2; y1=-0.2:0.03:0.2;
然后再调用meshgrid()函数产生矩阵s，并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域，对应的MATLAB命令如下：
[x,y]=meshgrid(x1,y1); s=x+i*y;
上述命令产生的矩阵s包含了复平面?0.2???0.2， ?0.2?j??0.2范围内以时间间隔0.03取样的所有样点。
最后再计算出信号拉普拉斯变换在复平面的这些样点上的值，即可用函数mesh()绘出其曲面图，对应命令为：
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fs=abs(1./s); mesh(x,y,fs); surf(x,y,fs);
title('单位阶跃信号拉氏变换曲面图'); colormap(hsv);
axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60]); rotate3d;
执行上述命令后，绘制的单位阶跃信号拉普拉斯变换曲面图如图5.1所示。
图5.1 阶跃信号拉普拉斯变换曲面图
3. 由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系
如果信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的极点均位于s平面左半平面，则信号f(t)的傅立叶变换F(j?)与F(s)存在如下关系：
F(j?)?F(s)s?j? （5.3）
即在信号的拉普拉斯变换F(s)中令??0，就可得到信号的傅立叶变换。从三维几何空间角度来看，信号f(t)的傅立叶变换F(j?)就是其拉普拉斯变换曲面图中虚轴所对应的曲线。可以通过将F(s)曲面图在虚轴上进行剖面来直观的观察信号拉普拉斯变换与其傅立叶变换的对应关系。
4. 拉普拉斯变换零极点分布对曲面图的影响
从单位阶跃信号和单边正弦信号的拉普拉斯变换曲面图可以看出，曲面图中均有突出的尖
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峰，仔细观察便可得出，这些峰值点在S平面的对应点就是信号拉普拉斯变换的极点位置。
我们再来看拉普拉斯变换零极点对曲面图的影响，考虑如下信号：
F(s)?2(s?3)(s?3)
(s?5)(s2?10)该信号的零点为z1,2??3，极点为p1,2??j3.1623，p3?5。利用如下MATLAB命令绘制出的曲面图如图5.5所示。
clf;
a=-6:0.48:6; b=-6:0.48:6;
[a,b]=meshgrid(a,b); c=a+i*b;
d=2*(c-3).*(c+3); e=(c.*c+10).*(c-5); c=d./e; c=abs(c); mesh(a,b,c); surf(a,b,c);
axis([-6,6,-6,6,0,4.5]);
title('拉普拉斯变换曲面图'); colormap(hsv); view(-25,30)
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