实验二 连续时间系统的时域分析
分别得到状态方程和输出方程：
下面将用两种方法计算完全响应。第一种方法：首先仿真2V电压e作用足够长时间（10s）后系统进入稳态，从而得到稳态值x0，再以该值作为初始值仿真4V电压e作用下的输出rf，即是系统的完全响应，为充分掌握lsim函数的使用方法，还仿真了系统的零状态响应rzs和零输入响应rzi。第二种方法：构造一个激励信号，先保持2V足够长时间再跳变为4V，然后即可以零初始状态一次仿真得到系统的完全响应r1。
对应程序如下： C=1; L=1/4; R1=1; R2=3/2;
A=[-1/R1/C,-1/C;1/L,-R2/L]; B=[1/R1/C;0]; C=[-1/R1,0]; D=[1/R1];
sys=ss(A,B,C,D); %建立LTI系统sys
tn=[-10:0.01:-0.01]'; %生成-10s到-0.01s的抽样时间，间隔为0.01s en=2*(tn<0); %生成机理信号的抽样值e(t)=2
[rn tn xn]=lsim(sys,en,tn); %仿真t<0时的输出信号 x0=xn(length(en),:); %x0记录了初始状态的值 t=[0:0.01:10]';
e=4*(t>=0); %生成激励信号的抽样值e(t)=4 ezi=0*(t>=0); %生成零输入信号的抽样值e(t)=0 rzs=lsim(sys,e,t); %仿真零状态响应 rzi=lsim(sys,ezi,t,x0); %仿真零输入响应
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实验二 连续时间系统的时域分析
rf=lsim(sys,e,t,x0); %仿真完全响应
r1=lsim(sys,[en;e],[tn;t]); %用另一种方法仿真完全响应
4. 已知描述某连续系统的微分方程为y?t??5y?t??6y?t??2f?t??8f?t?计算该系统
''''的单位冲激响应h(t). 统的单位冲激响应h(t). 对应程序如下： a=[1,5,6]; b=[2,8]; sys=tf(b,a); t=0:0.1:10;
h=impulse(sys,t); plot(h);
xlabel('t'); title('h(t)')
5. 已知描述某连续系统的微分方程为y?t??5y?t??6y?t??2f?t??8f?t?计算该系统
''''的单位冲激响应h(t).
例2.7 已知某系统冲激响应为h?t??t2，0 矩形脉冲e(t)激励该系统，求输出信号y(t)。 对应程序如下： t=[-1:0.01:4]’; e=[-0.5:0.01:(-0.5+1.5)]; h=(t>0&t<2).*t/2; [r1,t1]=conv1(e,t,h,t); tr=t1(t1>=-1&t1<=4); %从t1中选择和t相同起止时刻的抽样时间tr r=r1(t1>=-1&t1<=4); %用类似方法选择tr对应的输出r plot(tr,r) 6. 四、思考题 1. 对图2.1所示电路，分别求电流i(t)对激励e?t????t?和e?t??u?t?的冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)。 2. 仔细区别离散卷积和连续卷积的Matlab计算方法，思考如何编写出更好的计算连续卷积的Matlab函数。 13 实验三 周期信号的傅里叶级数分析 实验三 周期信号的傅里叶级数分析 一、实验目的 1. 掌握周期信号傅里叶级数展开的Matlab实现方法以及用展开项恢复原信号。 2. 了解吉布斯现象以及消除的方法 二、实验原理 1. 傅里叶级数展开 周期为T1的连续信号，若满足狄里克莱条件，就可以展开成傅里叶级数。 f(t)的指数形式傅里叶级数为 f(t)?其中?0?k=??jk?0tF e?k (3.1) ?2?，系数 T1 1Fk?T1?t0?T1t0f?t?e?jk?0tdt (3.2) 上述信号的三角函数形式的傅里叶级数为 ?2???2???a0?a0????f?t?????akcos?k?0t??bksin?k?0t??????akcos?kt??bksin?kt????(3.3) 2k?12k?1?TT?1??1??其中?0?2?，称为信号的基本频率，a0，ak和bk分别是信号x(t)的直流分量、余弦分量幅T1度和正弦分量幅度。其中： ak?2t0?T12t0?T1??xtcosk?tdtb?x?t?sink?0tdt (3.4) 0k??tt00T1T1 14 实验三 周期信号的傅里叶级数分析 a0?F02?ak?Fk?F?k ??bk?j?Fk?F?k?bk (3.5) ak连续时间周期信号x(t)的幅度频谱与相位频谱分别为 2Ak?ak?bk2 ?k?arctan其中k与频率的关系为??k?0，因此上式给出了信号基波与各次谐波幅度随平率变化的规律。 三角形式的傅里叶级数表明，一个周期信号x(t)如果满足狄里克莱条件，那么它就可以 看作是由很多不同频率的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量，其幅度为Ak。反过来理解三角傅里叶级数：用无穷多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 首先假设傅里叶级数收敛，即可用Fk1，Fk1?1，…，Fk2共K项近似原函数 f?t???Fkejk?0t (3.6) k?k1k2将所关心的从t0到t0?T之间的N个抽样值 f?t0?n?t??写成矩阵的形式为 Fkejk??kk?1k20?t0?n?t? (3.7) f?t0???Fk1????ejk1?0t0ej?k1?1??0t0?ejk2?0t0??f?t??t???jk1?0?t0??t?j?k1?1??0?t0??t?j?k2?1??0?t0??t???Fee?e0???k1?1????????????????????jk1?0?t0?T1??t?j?k1?1??0?t0?T1??t?jk2?0?t0?T1??t???F??ft?T??te?e??01???e???k2?? (3.8) 离散化数值近似后，式(3.2)变为 1N?1Fk??f?t0?n?t?e?jk?0?t0?n?t? (3.9) Nn?0写成矩阵形式 15 实验三 周期信号的傅里叶级数分析 ?Fk1??e?jk1?0t0?F???j?k1?1??0t01k?1?1???e???N??????jk2?0t0F???e?k2??e?jk1?0?t0??t?e?j?k1?1??0?t0??t??e?jk2?0?t0??t?f?t0??e?jk1?0?t0?T1??t???????e?j?k1?1??0?t0?T1??t???f?t0??t??????????jk2?0?t0?T1??t????e???f?t0?T1??t???(3.10) 式(3.8)和式(3.10)可以简写成 f?UFF?1Vf N其中U和V分别指代式(3.8)和式(3.10)中的变换矩阵。现在出现一个问题：如何有效地构造矩阵U和V？以V矩阵为例，各个元素变化的部分在指数项(不包括-j)上，仔细观察发现所有指数项构成的矩阵表现为两个矢量的张量积(叉乘)，即有 ?k1?0???k?1???0??1??t0t0??t?t0?T1??t???????k??20? k1?0?t0??t??k1?0?t0?T1??t???k1?0t0??k?1??t?k?1???t??t???k?1???t?T??t??001001001?1????????????k?tk?t??t?k?t?T??t2002001?200?Matlab提供了kron函数实现张量积。利用该函数，只用四行程序即可实现 U=exp(j*kron(t.’,k*omg1)); f=U*F; V=exp(-j*kron(k*omg1,t.’)); F=1/N*V*f; 2. 吉布斯现象 利用式(3.3)对一个周期函数作实际展开运算时，对k的求和过程不可能进行到无穷，只能到某一有限值K，即相当于在频域用一个矩形窗函数WK?k?与傅立叶级数的展开式相乘，得到一个频域有限长序列X?k??WK?k?，因此实际傅里叶级数展开式为 a0?a0Kf?t?????akcos?k?0t??bksin?k?0t??WK?k?????akcos?k?0t??bksin?k?0t??(3 2k?12k?1.11) K越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号f(t)。截断引起信号失真，这 16