实验三 周期信号的傅里叶级数分析
4?11?f(t)??sin??0t??sin?3?0t????sin?n?0t????
??3n?(n=1,3,5…)
2. 通过Matlab实现 三角形式的傅里叶级数和指数形式的傅里叶级数
2?j?0t1j3?0t1jn?0t??j?0t?j3?0t?jn?0tf(t)?e?e?e?e???e?e??????????j??3 (n=1,3,5,…)
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实验四 连续时间信号的傅里叶变换
实验四 连续时间信号的傅里叶变换
一、实验目的
1. 掌握傅立叶变换的Matlab实现，包括符号运算法和数值运算法 2. 掌握傅里叶变换性质的Matlab实现
二、实验原理
1. 傅里叶变换及Matlab符号运算的实现 信号f(t)的傅里叶变换定义： F?j???????f?t?e?j?tdt (4.1)
f(t)的傅里叶变换存在的充分条件是f(t)在无限区间内绝对可积，即满足
????f?t?dt?? (4.2)
上式并非f(t)存在的必要条件。当引入奇异函数概念后，使一些不满足绝对可积的f(t)也能进行傅里叶变换。
傅里叶反变换定义是：
1 f?t??2?????F?j??ej?tdt (4.3)
Matlab的Symbolic Math Toolbox提供了能直接求解傅里叶变换及逆变换的函数fourier()和ifourier()。
1）傅里叶变换
1) F=fourier(f) 2) F=fourier(f,v) 3) F=fourier(f,u,v) 使用说明：
(1) F=fourier(f)是符号函数f的傅里叶变换。默认返回是关于?的函数。如果
f?f???，则fourier函数返回关于t的函数；
(2) F=fourier(f,v)返回函数F关于符号对象v的函数，而不是默认的?，即 F?jv??????f?t?e?j?tdt
(3) F=fourier(f,u,v)对关于u的函数f进行变换，返回函数F关于v的函数，即
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实验四 连续时间信号的傅里叶变换
F?jv??????f?u?e?j?tdt
2） 傅里叶逆变换
1) f=ifourier(F) 2) f=ifourier(F,u) 3) f=ifourier(F,v,u)
使用说明：
(1) f=ifourier(F)是函数F的傅里叶逆变换。默认独立变量为?，默认返回是关于x的函数。如果F=F(x)，则ifourier函数返回关于t的函数；
(2) f=ifourier(F,u)返回函数f是u的函数，而不是默认x的函数
(3) f=ifourier(F,v,u)对关于v的函数F进行逆变换，返回关于u的函数。
注意：在调用fourier()和之前，要用syms命令对所有用到的变量(如t,,u,v,?)等进行说明，即要将这些变量说明称符号变量。对fourier()中的函数f及ifourier()中的F函数也要用符号定义符syms将f或F说明为符号表达式；若f或F是Matlab中的通用函数表达式，则不必用syms加以说明。 注意：采用fourier()和ifourier()得到的返回函数，仍然是符号表达式。若需对返回函数作图，则应用ezplot()绘图命令而不能用plot()命令。如果返回函数中有诸如狄拉克函数????等项，则用ezplot(）也无法作图。用fourier()对某些信号求变换时，其返回函数可能会包含一些不能直接表达的式子，甚至可能会出现一些屏幕提示“未被定义的函数或变量”的项，更不用说对此返回函数作图了。这是fourier()的一个局限。另一个局限是在很多场合，原信号f(t)尽管是连续的，但却不可能表示成符号表达式，而更多的实际测量现场获得信号是多组离散的数值量f(k)，此时也不可能应用fourier()对f(k)进行处理，而只能用下面介绍的数字计算方法求解。 2. 连续时间信号傅里叶变换的数值计算
为了更好地体会Matlab的数值计算功能，特别是强大的矩阵运算能力，这里给 出连续信号傅里叶变换的数值计算方法。方法的理论依据为：
F?j????f?t?e????j?tdt??f?t?e?j?tdt (4.4)
t1t2其中?t1,t2?为f?t?的主要取值区间，定义T?t2?t1为区间长度。在该区间内抽样N个点，抽
N?1T?j??t1?n?t?T????Fj??ft?n?te样间隔为?t?，得到 ?1Nn?0N用上式可以算出任意频点的傅里叶变换值。假设F?j??的主要取值区间位于??1,?2?，要计算其间均匀抽样的K个值，则有
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实验四 连续时间信号的傅里叶变换
TF?j??1?k?????N其中????n?0N?1f?t1?n?t?e?j??1?k????t1?n?t? (4.5)
?为频域抽样间隔，???2??1为带宽。 K 下面利用同样的方法研究傅里叶逆变换，由于f?t?的频带主要位于??1,?2?，近似有
1 f?t??2?????F?j??ej?t?d??2?K?F??k?0K?11?k???ej??1?k???t (4.6)
仍然只关心时域抽样点上的值，得到
?K?1F??1?k???ej??1?k????t1?n?t? (4.7) f?t1?n?t???2?Kk?0现在即可用(4.5)计算傅里叶变换的K个频域抽样值，进而可以用式(4.7)恢复时域信号。通
过适合Matlab的矩阵运算代替循环加速来解决上述问题。
将式(4.5)改写为用内积实现，即一个行向量右乘一个列向量：
F?j??1?k?????T?j??1?k???t1eN?e?j??1?k????t1??t??e?j??1?k????t2??t???f?t1???f?t??t???1????????ft??t?2?
?e?j?1t1?T?e?j??1????t1?N????j??2????t1?e?e?j?1?t1??t?e?j??1?????t1??t??e?j??2?????t1??t?e?j?1?t2??t????e?j??1?????t2??t?????e?j??2?????t2??t?????f?t1???f?t??t???1???????f?t2??t??(4.8)
同样式(4.7)改成
F?j?1????F?j????????1????????F?j??2??????
f?t1?n?t???ej?1?t1?n?t?2?K?ej??1?????t1?n?t??ej??2?????t1?n?t???ej?1t1???ej?1?t1??t??2?K???j?1?t2??t???eej??1????t1ej??1?????t1??t??ej??1?????t2??t?ej??2????t1???ej??2?????t1??t??????ej??2?????t2??t????F?j?1????F?j????????1???????????Fj????2??(4.9)
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实验四 连续时间信号的傅里叶变换
将式(4.8)和(4.9)简写成 F??TUf，f?VF。利用函数kron用四行程序可实现傅里叶N2?K变换和逆变换：
U=exp(-j*kron(omg,t.’)) ; F=T/N*U*f ;
V=exp(j*kron(t,omg.’)) ; fs=omg/2/pi/K*V*F ;
3. 傅里叶变换主要性质及Matlab实现 1）尺度变换特性
若f?t??F?j??，则傅里叶变换的尺度变换特性为
f?at??1??aF???ja?? 2) 时移特性
若f?t??F?j??，则傅里叶变换的时移特性为：
f?t?t0??F?j??e?j?t0 3) 频移特性
若f?t??F?j??，则傅里叶变换的频移特性为： f?t?e?j?0?F?j????0?? 4) 时域卷积定义
若f1?t??F1?j??，f2?t??F2?j??，则
f1?t?*f2?t??F1?j??F2?j?? 5) 对称性
若f?t??F?j??，则傅里叶变换的对称性为：
F?jt??2?f???? 三、实验内容
1. 用Matlab符号函数运算法求f?t??e?2t的傅里叶变换。
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(4.10) (4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)