实验二 连续时间系统的时域分析
实验二 连续时间系统的时域分析
一、实验目的
1. 掌握用Matlab描述线性时不变（LTI）系统的方法。
2. 掌握用Matlab实现零输入响应、零状态响应、冲激响应和阶跃响应的方法。 3. 掌握用Matlab实现连续时间卷积运算。
二、实验原理
1. 描述线性时不变（LTI）系统的方法
连续时间系统的研究方法包括输入---输出法和系统状态变量分析法。首先介绍输入---输出法。“信号与系统”研究的大部分是LTI系统，可以用一元高阶微分方程描述。设激励信号f(t)，系统响应y(t)，则系统表示为
dndn?1dC0ny?t??C1n?1y?t????Cn?1y?t??Cny?t?dtdtdt (2.1) mm?1ddd?E0mf?t??E1m?1f?t????Em?1f?t??Emf?t?dtdtdt在Matlab中，上述系统可用tf函数建立，使用方法为sys=tf(b,a)，其中a,b即
a??C0,C1,?Cn?1,Cn?和b??E0,E1,?Em?1,Em?，是两个行矢量，分别由系统响应和激励
信号的各阶导数项系数由搞至低排列而成；返回值sys即为上述LTI系统的模型。
系统状态变量分析法在主教材中已详细讲解。前述系统是一个一元高阶微分方程，必然可以化成两个多元一阶微分方程组，其中一个描述系统状态在激励信号作用下的变化，称为状态方程
dx?t??Ax?t??Bf?t? (2.2) dt另一个描述输出信号和系统状态及激励信号的关系，称为输出方程 y?t??Cx?t??Df?t? (2.3)
其中x?t???x1,x2,?,xk?表示状态变量矢量，f?t???f1,f2,?,fm?表示输入激励矢
TT量，r?t???r1,r2,?,rr?表示输出矢量。Ak?k,Bk?m,Cr?k,Dr?m分别表示四个系数矩阵。
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对于用状态方程和输出方程描述的系统模型，在Matlab中用ss函数建立。使用方法为sys=ss(a,b,c,d)，其中四个参数即为上述四个矩阵，返回值sys表示该系统模型。
2. 微分方程式的建立与求解
微分方程的解包括齐次解和特解两部分。齐次解即系统特征方程的根，用roots函数计算。使用方法a=roots(p)，其中p为特征方程的系数由高至低排列构成的行矢量，返回值a是特征组成的列矢量。
例2.1 求微分方程的齐次解。
d3d2d????yt?7yt?16y?t??12y?t??f?t?dtdt3dt2
对应程序如下：
p=[1 7 16 12]; a=roots(p); a
输出结果： a =
-3.0000 -2.0000 + 0.0000i -2.0000 - 0.0000i
注意有一个二重跟-2，从而写出齐次解为rh?t???A1t?A2?e?2t?A3e?3t
特解即系统函数在给定激励信号作用下的输出。Matlab提供lsim函数对LTI系统进行仿真。使用方法为y=lsim(sys,u,t)，其中sys表示LTI系统，矢量u和t分别表示激励信号的抽样值和抽样时间，返回值y 为对应于上述抽样时间的系统响应值。
d2ddy?t??3y?t??f?t??f?t? 例2.2 给定方程式2y?t??2dtdtdt如果已知：1)f?t??t; 2) f?t??e，分别求两种情况下方程的特解。
2t解： 首先建立系统模型sys，然后生成10s的抽样时间t及两种输入信号f1, f2，再分别激
励sys得到响应信号y1和y2，最后在两个子图上分别绘制两种输入信号及其响应。对应程序如下：
a=[1 2 3]; b=[1 1]; sys=tf(b,a); t=[0:0.1:10]; f1=t.^2;
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y1=lsim(sys,f1,t); f2=exp(t);
y2=lsim(sys,f2,t); subplot(2,2,1) plot(t,f1)
subplot(2,2,2) plot(t,f2)
subplot(2,2,3) plot(t,y1) subplot(2,2,4) plot(t,y2)
可以将上述脚本中抽样间隔改为1s，再运行程序，对比两次绘图结果有何不同。一般来说，随着抽样率的提高，仿真结果和理论值会越来越接近。
3. 零输入响应和零状态响应
在Matlab中，lsim函数还可以对带有非零起始状态的LTI系统进行仿真，使用方法为y=lsim(sys,u,t,x0)，其中sys表示LTI系统，矢量u和t分别表示激励信号的抽样值和抽样时间，矢量x0表示该系统的初始状态，返回值y是系统响应值。如果只有起始状态而没有激励信号，或者令激励信号为0，则得到零输入响应。如果既有初始状态也有激励信号，则得到完全响应。
请注意lsim函数只能对用状态方程描述的LTI系统仿真非零起始状态响应，函数ss（对传递函数描述的LTI系统将失效，函数tf）。
4. 冲激响应与阶跃响应
如果分别用冲激信号和阶跃信号作激励，lsim函数可仿真出冲激响应和阶跃响应。但鉴于这两种响应的重要性，为简化操作，Matlab专门提供了impulse(sys)和step(sys)两个函数分别直接产生LTI系统的冲激响应和阶跃响应，其中sys表示LTI系统模型。
1） 连续系统的单位冲激响应h(t)的计算 impulse(sys)计算并画出连续系统的冲激响应，sys可由函数tf(b,a)获得，其中b和a分别是系统函数H(s)的分子多项式和分母多项式的系数矩阵。h=impulse(sys,t)计算并画出系统在向量t定义的时间范围内的冲激响应，向量h保存对应时间的系统冲激响应的输出值。
2） 连续系统单位阶跃响应g(t)的计算
step(sys)计算并画出连续系统的阶跃响应。g=step(sys,t)计算并画出连续系统在向量t定义的时间范围内的阶跃响应。向量g保存对应时间的系统阶跃响应的输出值。
5. 连续时间卷积的计算
在Matlab中，连续时间的卷积运算可以用数值方法计算近似值。首先对卷积公式
f?t???f1???f2?t???d? 两侧以T为间隔抽样，再将积分拆成长度为T的若干小段，得到
???f?nT??m??????mT?TmTf1???f2?nT???d?
假设抽样间隔足够小，以至于两个函数相邻抽样点上的值几乎不变，则近似有
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f?nT??T?f1?mT?f2?nT?mT? (2.1)
mMatlab中定义了w=conv(u,v) 函数实现卷积和
w?n???u?m?v?n?1?m? (2.2)
m下面讨论如何利用conv函数实现连续时间卷积。首先假设序列u(m)是函数f1?t?从t1时刻开始，以T为间隔采样的结果，则
t??u?m?1?1??f1?mT? (2.3)
T??假设t1是T的整数倍。同理假设v(m)是对函数f2?t?从t2时刻开始以相同间隔抽样得到的序列，即
t??v?m?1?1??f2?mT? (2.4)
T??将式(2.3)和(2.4)带入式(2.1)，有
t??t??f?nT??T?u?m?1?1?v?n?m?1?2? (2.5)
T??T??m定义m?m?1?'t1t?t'，n?n?1?12并带入式(2.5)得到 TTf?nT??T?um'vn'?1?m' (2.6)
m????对比式(2.2)和(2.6)有
t?t?f?nT??Twn'?Tw?n?1?12T????? (2.7) ?即w(n)近似为从t1?t2时刻开始以T为间隔对f(t)抽样得到的序列，从而可以用conv函数实现连续时间卷积。在以上推导的基础上，定义了一个函数conv1实现连续时间卷积： 文件名为conv1.m
function[w,tw]=conv1(u,tu,v,tv)%输入参数：u和v表示两个序列，tu和tv分别表示他们的
抽样时间返回值，即输出参数：w和tw分别表示卷积结果及其抽样时间。
T=tu(2)-tu(1);%以T为间隔抽样，再将积分拆成长度为T的若干小段，相当于dt w=T*conv(u,v);
tw=tu(1)+tv(1)+T*[0:length(u)+length(v)-2];
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%抽样时间tw=[tu(1)+tv(1), tu(1)+tv(1)+T, tu(1)+tv(1)+2T,…,
tu(1)+tv(1)+T(length(u)-1+length(v)-1)] 卷积的时间为两序列起点的和到两序列终点的和
三、实验内容
d3d2d????1. 用Matlab传递函数描述如下系统 yt?7yt?16y?t??12y?t??f?t? 32dtdtdt2. 用matlab描述如下系统
??1???2?x??x???0??2???x3???2????输出方程
?0?3?2?1??x1??10??f1?t???????3??x2???0?3??f2?t????????0?x00??3???y?t???01?x1??f1?t????0??x2???01???
??ft?2???x?3?3. 给定如图所示电路，t<0时S处于1的位置而且已经达到稳态，将其看做起始状态，当
t=0时，S由1转向2.分别求t>0时i(t)的零状态响应和零输入响应。
图2.1 电路图 解：由所示电路写出回路方程和结点方程
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