故k的取值范围为(?1,?6．（本小题满分12分）
13311313)?(?,?)?(,)?(,1) 15322315数列{an}满足a1?1且an?1?(1?11)a?(n?1). nn2?n2n（Ⅰ）用数学归纳法证明：an?2(n?2)；
（Ⅱ）已知不等式ln(1?x)?x对x?0成立,证明:an?e2(n?1)，其中无理数e=2.71828…. （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，a2?2?2，不等式成立. （2）假设当n?k(k?2)时不等式成立，即ak?2(k?2),
那么ak?1?(1?11)ak?k?2. 这就是说，当n?k?1时不等式成立.
k(k?1)2根据（1）、（2）可知：ak?2对所有n?2成立. （Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有 an?1?(1?两边取对数并利用已知不等式得 lnan?11111)a??(1??)an.(n?1) n2n2nn?n2n?n211?ln(1?2?n)?lnan
n?n2?lnan?1111?.lna?lna?? 故 (n?1). n?1n2nnn?n2n(n?1)2上式从1到n?1求和可得
lnan?lna1?111111??????2???n?1 1?22?3(n?1)n2221n111111112?1??(?)???????1??1?n?2. 1223n?1n2n21?21?即lnan?2,故an?e2（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证2?n(n?1)对n?2成立，故
n(n?1).
an?1?(1?1111)a??(1?a?nnn(n?1)n(n?1)n2?n2n(n?2).
令bn?an?1(n?2),则bn?1?(1?1)bnn(n?1)(n?2).
取对数并利用已知不等式得 lnbn?1?ln1(?1)?lnbn
n(n?1)?lnbn?1n(n?1)(n?2).
111 ????1?22?3n(n?1)上式从2到n求和得 lnbn?1?lnb2??1?11111???????1. 223n?1n因b2?a2?1?3.故lnbn?1?1?ln3,bn?1?e1?ln3?3e(n?2).
故an?1?3e?1?e2,n?2,又显然a1?e2,a2?e2,故an?e2对一切n?1成立. 7．（本小题满分12分）
已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0?1,an?1?（1）证明an?an?1?2,n?N; （2）求数列{an}的通项公式an. 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，a0?1,a1?1an,(4?an),n?N. 213a0(4?a0)?, 22 ∴a0?a1?2，命题正确. 2°假设n=k时有ak?1?ak?2. 则n?k?1时,ak?ak?1?11ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak) 221?2(ak?1?ak)?(ak?1?ak)(ak?1?ak)2
1?(ak?1?ak)(4?ak?1?ak).2而ak?1?ak?0.又ak?1?4?ak?1?ak?0,?ak?ak?1?0.
11ak(4?ak)?[4?(ak?2)2]?2. 22∴n?k?1时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有an?an?1?2. 方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时，a0?1,a1?13a0(4?a0)?,∴0?a0?a1?2； 22 2°假设n=k时有ak?1?ak?2成立，
1x(4?x)，f(x)在[0，2]上单调递增，所以由假设 2111有：f(ak?1)?f(ak)?f(2),即ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)??2?(4?2),
222 令f(x)?也即当n=k+1时 ak?ak?1?2成立，所以对一切n?N,有ak?ak?1?2 （2）下面来求数列的通项：an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],所以 222(an?1?2)??(an?2)2
1211221122211?2???2n?12n令bn?an?2,则bn??bn??(?b)???()b????()bn, ?1n?2n?122222212n?11n,即an?2?bn?2?()2?1 又bn=－1，所以bn??()22
2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解六
1．（本小题满分14分）
如图，设抛物线C:y?x的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.
2解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x0)和(x1,x12)((x1?x0)，
2∴切线AP的方程为：2x0x?y?x0?0;
2 切线BP的方程为：2x1x?y?x1?0; 解得P点的坐标为：xP?2x0?x1,yP?x0x1 2所以△APB的重心G的坐标为 xG?x0?x1?xP?xP，
322y0?y1?yPx0?x12?x0x1(x0?x1)2?x0x14xP?ypyG????,
3333所以yp??3yG?4xG，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
21x?(?3y?4x2)?2?0,即y?(4x2?x?2).
3 （2）方法1：因为FA?(x0,x0?),FP?(由于P点在抛物线外，则|FP|?0.
214x0?x1112,x0x1?),FB?(x1,x1?). 244x0?x11112?x0?(x0x1?)(x0?)x0x1?FP?FA44?4, ?2∴cos?AFP?1|FP||FA||FP|22|FP|x0?(x0?)24x0?x11112?x1?(x0x1?)(x1?)x0x1?FP?FB244?4, ?同理有cos?BFP?1|FP||FB||FP|22|FP|x1?(x1?)24∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当x1x0?0时,由于x1?x0,不妨设x0?0,则y0?0,所以P点坐标为(x1,0)，则P点到2直线AF的距离为：d1?2即(x1?)x?x1y?|x1|1;而直线BF的方程:y??24x12?x114x,
141x1?0. 4x1x1|x||(x12?)1?1|(x12?)1424?42?|x1| 所以P点到直线BF的距离为：d2?1221222x?(x1?)?(x1)144所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
114(x?0),即(x2?1)x?xy?1x?0, ②当x1x0?0时，直线AF的方程：y??0004x0?0442x0?114(x?0),即(x2?1)x?xy?1x?0, 直线BF的方程：y??1114x1?044x12?所以P点到直线AF的距离为：
x?x11x?x111222|(x0?)(0)?x0x1?x0||0)(x0?)42424?|x0?x1|，d1??同理可得到P点到直线
122122x0?(x0?)2?x044BF的距离d2?|x1?x0|，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 22．（本小题满分12分）
设A、B是椭圆3x2?y2??上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与
椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定?的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的?，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）
本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为y?k(x?1)?3,代入3x?y??，整理得
22(k2?3)x2?2k(k?3)x?(k?3)2???0. ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根， ∴??4[?(k?3)?3(k?3)]?0, ② 且x1?x2?
222k(k?3),由N（1，3）是线段AB的中点，得 2k?3x1?x2?1,2?k(k?3)?k2?3.
解得k=－1，代入②得，??12,即?的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB的方程为y?3??(x?1),即x?y?4?0.