22)， f?(x)?3x2?2ax?3x(x?a)?0，x?(1，32]上是增函数，所以m?f(1)?1?a. 则f(x)在区间[1，2]上，f(x)?x2(x?a)?0，由f(a)?0知 ②当1?a?2时，在区间[1， m?f(a)?0.
2]上，f(x)?ax2?x3. ③当a?2时，在区间[1，2 f?(x)?2ax?3x2?3x(a?x).
32)内f?(x)?0，从而f(x)为区间[1，2]上的增函数， 若a?3，在区间(1，由此得 m?f(1)?a?1.
2若2?a?3，则1?a?2.
322 当1?x?a时，f?(x)?0，从而f(x)为区间[1，a]上的增函数；
3322 当a?x?2时，f?(x)?0，从而f(x)为区间[a，2]上的减函数.
33因此，当2?a?3时，m?f(1)?a?1或m?f(2)?4(a?2).
7当2?a?时，4(a?2)?a?1，故m?f(2)?4(a?2)；
37当?a?3时，a?1?4(a?2)，故m?f(1)?a?1. 3综上所述，所求函数的最小值 ?1?a，??0，? m??4(a?2)，???a?1，?当a?1时；当1?a?2时；7 当2?a?时；37当a?时．36．（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）
a2?6，a3?11，且 设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，n?1，，，23?，
B为常数. 其中A，(Ⅰ)求A与B的值；
(Ⅱ)证明：数列?an?为等差数列；
(Ⅲ)证明：不等式5amn?aman?1对任何正整数m，n都成立.
本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：（Ⅰ）由已知，得S1?a1?1，S2?a1?a2?7，S3?a1?a2?a3?18. 由(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，知 ??3S2?7S1?A?B， ? 即
2S?12S?2A?B，32??A?B??28， ??2A?B??48，解得 A??20，B??8. （Ⅱ）方法1
n?8S)n?1?n(5?由（Ⅰ），得 (5S2??n)n2?0， 8 ①
所以 (5n?3)Sn?2?(5n?7)Sn?1??20n?28. ② ②-①，得 (5n?3)Sn?2?(10n?1)Sn?1?(5n?2)Sn??20， ③ 所以 (5n?2)Sn?3?(10n?9)Sn?2?(5n?7)Sn?1??20. ④ ④-③，得 (5n?2)Sn?3?(15n?6)Sn?2?(15n?6)Sn?1?(5n?2)Sn?0. 因为 an?1?Sn?1?Sn，
所以 (5n?2)an?3?(10n?4)an?2?(5n?2)an?1?0. 又因为 5n?2?0，
所以 an?3?2an?2?an?1?0， 即 an?3?an?2?an?2?an?1，n?1. 所以数列?an?为等差数列. 方法2
由已知，得S1?a1?1，
又(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn??20n?8，且5n?8?0， 所以数列?Sn?是唯一确定的，因而数列?an?是唯一确定的. 设bn?5n?4，则数列?bn?为等差数列，前n项和Tn?
于是 (5n?8T)n?1?n(5?T2?n)n(5n?3). 2n?(5(n?1)(n5?8)22)nn(?53) ?n?(52)??n?，2028由唯一性得 bn?an，即数列?an?为等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an?1?5(n?1)?5n?4. 要证
5amn?aman?1，
只要证 5amn?1?aman?2aman. 因为 amn?5mn?4，aman?(5m?4)(5n?4)?25mn?20(m?n)?16， 故只要证 5(5mn?4?)?1mn25?即只要证 20m?2n0?3?7m2?0n(?)?1a6man2，
a2man. 因为 2aman?am?an?5m?5n?8 ?5m?5n?8?(15m?15n?29)
?20m?20n?37，
所以命题得证.
2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五
1．（本小题满分14分）
x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，
ab满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0. （Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a? （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
cx； a本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P的坐标为(x,y).
由P(x,y)在椭圆上，得
b22|F1P|?(x?c)?y?(x?c)?b?2xa
c?(a?x)2.a2222由x?a,知a?ccx??c?a?0，所以 |F1P|?a?x.………………………3分 aa证法二：设点P的坐标为(x,y).记|F1P|?r1,|F2P|?r2,
则r1?(x?c)2?y2,r2?(x?c)2?y2.
cx. ac证法三：设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程为a?x?0.
a22由r1?r2?2a,r1?r2?4cx,得|F1P|?r1?a?
2cac|FP|c由椭圆第二定义得，即|F1P|?|x?1|?|a?x|. ?acaaa2|x?|c
由x??a,知a?ccx??c?a?0，所以|F1P|?a?x.…………………………3分 aa（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为(x,y).
当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|PT|?0且|TF2|?0时，由|PT|?|TF2|?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，|OT|?1|F1Q|?a，所以有x2?y2?a2. 2222综上所述，点T的轨迹C的方程是x?y?a.…………………………7分 解法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|PT|?0且|TF2|?0时，由PT?TF2?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. x??c?x?,??2设点Q的坐标为（x?,y?），则 ??y?y?.?2?
?x??2x?c,因此? ①
?y?2y.?
由|F1Q|?2a得(x??c)2?y?2?4a2. ② 将①代入②，可得x2?y2?a2.
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2?y2?a2.……………………7分
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是
22?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.?2③ ④
2b2. 所以，当a?b时，存在点M，使S=b2； 由③得|y0|?a，由④得|y0|?cc2当a?b时，不存在满足条件的点M.………………………11分
c2b当a?时，MF1?(?c?x0,?y0),MF2?(c?x0,?y0)， c22由MF1?MF2?x0?c2?y0?a2?c2?b2，
MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2，
S?1|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b2，得tan?F1MF2?2. 2解法二：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是
22③ ?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.④ ?2
b2b4b2b222. 上式代入③得x0?a?2?(a?)(a?)?0. 由④得|y0|?cccc2于是，当a?b时，存在点M，使S=b2；
c2b当a?时，不存在满足条件的点M.………………………11分 c
2y0y0b当a?时，记k1?kFM?， ,k?k?2F2M1cx0?cx0?c由|F1F2|?2a,知?F1MF2?90?，所以tan?FMF?|k1?k2|?2.…………14分
121?k1k22．（本小题满分12分）