(3) ∵b1?1,bn?1?b2n?bn?bn(bn?1), ………………③ 3∴对任意的n?N?, bn?0. ………………④ 由③、④, 得
1bn?1?111111. ??,即??bn(bn?1)bnbn?1bn?1bnbn?1∴Tn?(111111111.……………(10分) ?)?(?)???(?)???3?b1b2b2b3bnbn?1b1bn?1bn?1∵bn?1?bn?b2?bn?1?bn,∴数列{bn}是单调递增数列. n?0, ∴Tn关于n递增. 当n?2, 且n?N?时, Tn?T2. ∵b1?11144452,b2?(?1)?, b3?(?1)?, 33399981∴Tn?T2?3?∴Sm?175?.………………(12分) b152751752384,即(3m?1)?,∴m??6, ∴m的最大值为6. ……………(14分) 52125239395．（12分）E、F是椭圆x2?2y2?4的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点P?l，过点E的直线交椭圆于A、B两点.
（1） 当AE?AF时，求?AEF的面积； （2） 当AB?3时，求AF?BF的大小； （3） 求?EPF的最大值.
yAPM?m?n?41解：（1）?2?S?mn?2 ?AEF22?m?n?8??AE?AF?4?AB?AF?BF?8， （2）因???BE?BF?4则AF?BF?5.
（1） 设P(22,t)(t?0) tan?EPF?tan(?EPM??FPM)
BEOFx?(32232?222t223?)?(1?)???， 22?1tttt?6t?6t3当t?6时，tan?EPF?3??EPF?30? 3212Sn6．（14分）已知数列?an?中，a1?，当n?2时，其前n项和Sn满足an?，
32Sn?1（2） 求Sn的表达式及liman的值；
n??S2n（3） 求数列?an?的通项公式； （4） 设bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3，求证：当n?N且n?2时，an?bn.
22Sn11解：（1）an?Sn?Sn?1??Sn?1?Sn?2SnSn?1???2(n?2)
2Sn?1SnSn?1所以??1?1. ?是等差数列.则Sn?S2n?1?n?liman22?lim???2.
n??S2n??2S?12limSn?1nnn??（2）当n?2时，an?Sn?Sn?1?11?2??2， 2n?12n?14n?1?1?n?1???3综上，an??.
2??n?2??1?4n2?（3）令a?111,b?，当n?2时，有0?b?a? （1） 2n?12n?131?2n?11?1?2n?11. 法1：等价于求证
?2n?1?3?2n?1?3当n?2时，0?111?,令f?x??x2?x3,0?x?, 2n?1333313f??x??2x?3x2?2x(1?x)?2x(1??)?2x(1?)?0，
2223则f?x?在(0,1]递增. 3又0?111， ??2n?12n?1311)?g(),即an?bn.
332n?12n?1所以g(法（2）an?bn?1111??(?)?b2?a2?(b3?a3) 2n?12n?1(2n?1)3(2n?1)3?(a?b)(a2?b2?ab?a?b) （2）
?(a?b)[(a2?因b?ababba?a)?(b2??b)] ?(a?b)[a(a??1)?b(b??1)] （3） 2222baab3a33?1?a??1??1??1??1?0，所以a(a??1)?b(b??1)?0
22222223由（1）（3）（4）知an?bn.
法3：令g?b??a2?b2?ab?a?b，则g??b??2b?a?1?0?b?22所以g?b??maxg?0?,g?a??maxa?a,3a?2a
1?a 2????因0?a?2141,则a2?a?a?a?1??0，3a2?2a?3a(a?)?3a(?)?0
339322所以g?b??a?b?ab?a?b?0 （5） 由（1）（2）（5）知an?bn 7． (本小题满分14分)
x2y2设双曲线2?2=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，
abP是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.
(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|OP|2 = |OQ·OR| ( O为坐标原点)；
(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围； 解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y =
????????b(x – a ), a???ab?kababkab 解得：OR= (,), 同理可得OQ= (,),
ak?bak?bak?bak?b???a2b2(1?k2)?abab?kabkab∴|OQ·OR| =|+| =22. 4分 2ak?bak?bak?bak?b|ak?b|????? 设OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:
???a2b2k2a2b22
m =2, n = 2,
b?a2k2b?a2k22
a2b2(1?k2)a2b2k2a2b2∴ |OP| = :m + n = 2+ 2=2 , 222222b?akb?akb?ak???222
∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 .
∴无论P点在什么位置，总有|OP| = |OQ·OR| . 4分
???2
?????a2b2(1?k2)（2）由条件得：2= 4ab, 2分 22b?ak4b2?ab即k = > 0 , ∴ 4b > a, 得e >
ab?4a22
17 2分 4
2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二
1. (本小题满分12分)
已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) 解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,
∴ 当n ? a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ? n n – ( n + a)n. 2分
又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n
+ a )( n + a)n – 1 ] 2分
( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分 2. (本小题满分12分)
已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .
(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？
?1?x,x?[?1,0](2) 判断函数g(x)=?，是否满足题设条件？
1?x,x?[0,1]?解： (1) 若u ,v ? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |，
取u =
31?[–1，1]，v = ?[–1，1], 425| u – v | > | u – v |， 4则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：
10. 若u ,v ? [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ? [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u?[–1，0]，v?[0，1]，则：
|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u?[0，1]，v?[–1，0], 同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)
已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (1) 求证：| ac | ? 4;
(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t?R, t ? –1,
∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ? 0 ， ∵ c ? 0, ∴c2a2 ? 16 , ∴| ac | ? 4.
x(x ? –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ? 0 ). x?1