将这n个式子相加，得 f(n)?f(0)?1?2?3???n?n(n?1) 2?f(0)?0 n(n?1)
?f(n)?2n(n?1)(n?N*) ……3分 2 （II）S(n)?S(n?1)为一直角梯形（n?1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为
?an?f(n?1)，f(n)，高为1
?S(n)?S(n?1)?a?anf(n?1)?f(n)?1?n?1
22
……6分
1n(n?1)n(n?1)n2?]? ?[
2222 （III）设满足条件的正整数N存在，则
n(n?1)n2n?1005???1005?n?2010
222 又M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998} ?N?2010，2012，……，2998均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.
设共有m个满足条件的正整数N，则2010?2(m?1)?2998，解得m?495 ?M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin?2010 （IV）设bn?……9分
2111?2(?) ，即bn?n(n?1)nn?1an11111111)?(?)?(?)???(?)]?2(1?) 22334nn?1n?11]?2 ……10分 显然，其极限存在，并且lim(b1?b2???bn)?lim[2?n??n??n?1 则b1?b2???bn?2[(1?n1n?n1cn?1 注：bn?（c为非零常数），bn?()，bn?q(0?|q|?1)等都能使lim(b1?b2???bn)n??2an2a2a存在.
19. （本小题满分14分）
y2x2?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2. 设双曲线2?3a （I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
??（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0.若存在，求
出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（I）?e?2，?c2?4a2 ?c2?a2?3，?a?1，c?2
x23?1，渐近线方程为y?? ?双曲线方程为y?x 332 4分
（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Mx，y
???2|AB|?5|F1F2|55?|AB|?|F1F2|??2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10
33x1，y2??x2，2x?x1?x2，2y?y1?y23333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33又y1???3(y1?y2)?2?3???(x1?x2)??10?3?21x23y22??1 ?3(2y)?(2x)?100，即375252 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为 （III）假设存在满足条件的直线l
设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)
103的椭圆.（9分） 3
???OP·OQ?0?x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1??0(i)2
?y?k(x?1)?由?2x2得(3k?1)x2?6k2x?3k2?3?0?y?3?1 ?6k23k2?3则x1?x2?2，x1x2?2(ii)3k?13k?1 由（i）（ii）得k?3?0
∴k不存在，即不存在满足条件的直线l. 3. （本小题满分13分）
* 已知数列?an?的前n项和为Sn(n?N)，且Sn?(m?1)?man对任意自然数都成立，其中m为常
2 14分
数，且m??1.
（I）求证数列?an?是等比数列；
（II）设数列?an?的公比q?f(m)，数列?bn?满足：b1?1a1，bn?f(bn?1) 3(n?2，n?N*)，试问当m为何值时，limbn(lgan)?lim3(b1b2?b2b3?b3b4?
n??n??…?bn?1bn)成立？
解：（I）由已知Sn?1?(m?1)?man?1 Sn?(m?1)?man （2）
由(1)?(2)得：an?1?man?man?1，即(m?1)an?1?man对任意n?N都成立
*(1)
?m为常数，且m??1an?1m??
anm?1即?an?为等比数列5分
（II）当n?1时，a1?(m?1)?ma1
?a1?1，从而b1?13mm?1
由（I）知q?f(m)??bn?f(bn?1)?bn?1(n?2，n?N*)bn?1?1?1111?1?，即??1bnbn?1bnbn?1?1??为等差数列b?n?11?3?(n?1)?n?2，bn?(n?N*)bnn?2n?1 ??
?9分?m? ?an????m?1?
n?1mm?limbn(lgan)?lim·lg?lgn??n??n?2m?1m?1 lim3(b1b2?b2b3?…?bn?1bn)n??
11??1111?lim3?????…????1n???3445n?1n?2? 由题意知lgmm10?1，??10，?m?? m?1m?19 13分
4．（本小题满分12分）
x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和
abx轴正半轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆方程． 解：（1）设点Q(x0,0),F(?c,0),其中c?由P分AQ所成的比为8∶5，得P(2a2?b2,A(0,b)．
85x0,b)， 2分 131382x523∴()02?()?1?x0?a．①， 4分
13a132而FA?(c,b),AQ?(x0,?b),FA?AQ，
b2∴FA?AQ?0．?cx0?b?0,x0?．②， 5分
c2由①②知2b2?3ac,?2c2?3ac?2a2?0． ∴2e?3e?2?0.?e?21． 6分 2b2?c2,0)， （2）满足条件的圆心为O?(2cb2?c2a2?c2?c2??c,?O?(c,0)， 8分 2c2cb2?2a2c??a． 10分 圆半径r?22c由圆与直线l：x?3y?3?0相切得，
|c?3|?a， 2x2y2??1． 12分 又a?2c,?c?1,a?2,b?3．∴椭圆方程为435．（本小题满分14分）
（理）给定正整数n和正数b，对于满足条件a1?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，试求
2y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差．
（文）给定正整数n和正数b，对于满足条件a1?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，试求
2y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差．
（理）解：设?an?公差为d，则an?1?a1?nd,nd?an?1?a1． 3分
y?an?1?an?2???a2n?1?an?1?(an?1?d)???(an?1?nd) ?(n?1)an?1?(1?2???n)d?(n?1)an?1?n(n?1)d 4分 2?(n?1)(an?1??a?a1nd)?(n?1)(an?1?n?1) 22n?1(3an?1?a1)． 7分 2