函数y?f(x)在区间（0，+∞）内可导，导函数f?(x)是减函数，且f?(x)?0. 设
x0?(0,??),y?kx?m是曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）得的切线方程，并设函数g(x)?kx?m.
（Ⅰ）用x0、f(x0)、f?(x0)表示m； （Ⅱ）证明：当x0?(0,??)时,g(x)?f(x)；
3 （Ⅲ）若关于x的不等式x?1?ax?b?x3在[0,??)上恒成立，其中a、b为实数，
222 求b的取值范围及a与b所满足的关系.
本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （Ⅰ）解：m?f(x0)?x0f?(x0).…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令h(x)?g(x)?f(x),则h?(x)?f?(x0)?f?(x),h?(x0)?0. 因为f?(x)递减，所以h?(x)递增，因此，当x?x0时,h?(x)?0；
当x?x0时,h?(x)?0.所以x0是h(x)唯一的极值点，且是极小值点，可知h(x)的
最小值为0，因此h(x)?0,即g(x)?f(x).…………………………6分
（Ⅲ）解法一：0?b?1，a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).
另一方面，由于f(x)?3x3满足前述题设中关于函数y?f(x)的条件，利用（II）的结果可知，
2222212233的充要条件是：过点（0，b）与曲线33相切的直线的斜率大于a，该切线的方程为ax?b?xy?x22y?(2b)?12x?b.
2
于是ax?b?3x3的充要条件是a?(2b)2.…………………………10分
21
3综上，不等式x?1?ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
222
(2b)?12?a?2(1?b). ①
?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)?2(1?b). ②
12有解、解不等式②得2?2?b?2?2. ③
44因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
（Ⅲ）解法二：0?b?1,a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x2?1?ax?b,即x2?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).………………………………………………………………8分
2333令?(x)?ax?b?x，于是ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是 22122
?(x)?0. 由??(x)?a?x?13?0得x?a?3.
?3?3?3当0?x?a时??(x)?0;当x?a时，??(x)?0，所以，当x?a时，?(x)取最小值.因此
?(x)?0成立的充要条件是?(a)?0，即a?(2b).………………10分
综上，不等式x?1?ax?b?3x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
222?3?12(2b)?12?a?2(1?b). ①
?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)有解、解不等式②得2?2?b?2?2.
44?2(1?b) ②
12因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
3．（本小题满分12分）
已知数列?an?的首项a1?5,前n项和为Sn，且Sn?1?Sn?n?5(n?N*) （I）证明数列?an?1?是等比数列；
2n（II）令f(x)?a1x?a2x???anx，求函数f(x)在点x?1处的导数f?(1)并比较2f?(1)与23n?13n2的大小.
解：由已知Sn?1?Sn?n?5(n?N*)可得n?2,Sn?2Sn?1?n?4两式相减得
Sn?1?Sn?2?Sn?Sn?1??1即an?1?2an?1从而an?1?1?2?an?1?当n?1时S2?2S1?1?5所以
a2?a1?2a1?6又a1?5所以a2?11从而a2?1?2?a1?1?
故总有an?1?1?2(an?1)，n?N又a1?5,a1?1?0从而（II）由（I）知an?3?2n?1
因为f(x)?a1x?a2x2???anxn所以f?(x)?a1?2a2x???nanxn?1
2n从而f?(1)?a1?2a2???nan=?3?2?1??23?2?1???n(3?2?1)
*an?1?1?2即数列?an?1?是等比数列； an?1??n?12n=32?2?2???n?2-?1?2???n?=3?n?1??2?2n2由上2f?(1)?23n?13n?12?n?1??2-122n?n?1=
??n(n?1)?6 2????n212?n?1??2n?12?n?1?(2n?1)=12(n?1)???(2n?1)??①
当n?1时，①式=0所以2f?(1)?23n2?13n； 当n?2时，①式=-12?0所以2f?(1)?23n2?13n 当n?3时，n?1?0
n01n?1n又2??1?1??Cn?Cn???Cn?Cn?2n?2?2n?1 n2所以?n?1???2??2n?1????0即①?0从而2f?(1)?23n?13n
nByAM
4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点?Nox?p?F?,0??2?p?p?,0?，且与直线x??相切，其中p?0.
2?2?x??p2（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变化且???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.
解：（I）如图，设M为动圆圆心，?p?p?,0?为记为F，过点M作直线x??的垂线，垂足为N，由题
2?2?p的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹2意知：MF?MN即动点M到定点F与定直线x??为抛物线，其中F?p?p?,0?为焦点，x??为准线，所以轨迹方程为y2?2px(P?0)；
2?2?（II）如图，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意得x1?x2（否则?????）且x1,x2?0所以直线AB的斜
2y12y2率存在，设其方程为y?kx?b，显然x1?，将y?kx?b与y2?2px(P?0)联立消去x，,x2?2p2p得ky2?2py?2pb?0由韦达定理知y1?y2?2p2pb,y1?y2?① kk2y1y2y12y2（1）当??时，即????时，tan??tan??1所以??1,x1x2?y1y2?0，2?y1y2?0所
22x1x24p??以y1y2?4p2由①知：
2pb?4p2所以b?2pk.因此直线AB的方程可表示为y?kx?2Pk，即kk(x?2P)?y?0所以直线AB恒过定点??2p,0?
（2）当???2时，由?????，得tan??tan(???)=
tan??tan?=
1?tan?tan?2p2p2p(y1?y2)b??2pk， tan??将①式代入上式整理化简可得：，所以2tan?b?2pky1y2?4p此时，直线AB的方程可表示为y?kx?2p2p???2pk即k(x?2p)??y???0 tan?tan???所以直线AB恒过定点??2p,??2p?? tan??所以由（1）（2）知，当??5．（本小题满分12分）
?2时，直线AB恒过定点??2p,0?，当???2时直线AB恒过定点??2p,??2p??. tan??x2?y2?1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、已知椭圆C1的方程为4右顶点分别是C1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C2的方程；
（Ⅱ）若直线l:y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A
和B满足OA?OB?6（其中O为原点），求k的取值范围.
22解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为x?y?1，则a2?4?1?3,再由a2?b2?c2得b2?1.
a2b2x2?y2?1. 故C2的方程为3x2?y2?1得(1?4k2)x2?82kx?4?0. （II）将y?kx?2代入4由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
?1?(82)2k2?16(1?4k2)?16(4k2?1)?0,
2即 k?1. ① 4x2将y?kx?2代入?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?0.
3由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
2??1?3k?0,?222???2?(?62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.
1即k2?且k2?1.3设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA?xB?62k?9,x?x?AB1?3k21?3k2
由OA?OB?6得xAxB?yAyB?6,而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxB?2)?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?2 ?(k2?1)??962k?2k??2 221?3k1?3k3k2?7?2.3k?13k2?715k2?13于是2?6,即?0.解此不等式得
3k?13k2?1k2?131或k2?. ③ 153由①、②、③得
1113?k2?或?k2?1. 4315