又a1?an?1?b,??a1??b?an?1．
∴3an?1?a1??an?1?3an?1?b??(an?1?)?2223229?4b9?4b3?，当且仅当an?1?时，等号成442立． 11分
n?1(n?1)(9?4b)(3an?1?a1)?． 13分 2894b?3(n?1)(9?4b)当数列?an?首项a1?b?，公差d??时，y?，
44n8(n?1)(9?4b)∴y的最大值为． 14分
8∴y?（文）解：设?an?公差为d，则an?1?a1?nd,nd?an?1?a1． 3分
y?an?1?an?2???a2n?1?an?1(an?1?d)???(an?1?nd)?(n?1)an?1?(1?2???n)d?(n?1)an?1?n(n?1)ndd?(n?1)(an?1?)22an?1?a1n?1)?(3an?1?a1)， 6分 222
?(n?1)(an?1?2又a1?an?1?b,??a1??b?an?1．
∴3an?1?a1??an?1?3an?1?b??(an?1?)?当且仅当an?1?23229?4b9?4b?． 443时，等号成立． 11分 2n?1(n?1)(9?4b)(3an?1?a1)?∴y?． 13分 2894b?3(n?1)(9?4b)当数列?an?首项a1?b?，公差d??时，y?．
44n8(n?1)(9?4b)∴y的最大值为． 14分
86．（本小题满分12分）
垂直于x轴的直线交双曲线x?2y?2于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）
（Ⅰ）证明：x0?2y0为定值; （Ⅱ）过P作斜率为?2222x0的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值. 2y0解（Ⅰ）证明：设M(x1,?y1),则N(x1,?y1),?A1(?2,0),A2(2,0)
?直线A1M的方程为y?y1x1?2(x?2) ①
直线A2N的方程为y??y1x1?2(x?2) ②……4分
①×②，得y?2?y12x1?22(x2?2)
1?x12?2y12?2,?y2??(x2?2),即x2?2y2?22 ?P(x0,y0)是直线A1M与A2N的交点22?x0?2y0?2为定值??8分（Ⅱ）l的方程为y?y0??x022(x?x0),结合x0?2y0?2整理得x0x?2y0y?2?0 2y0于是d?222x0?4y0?222?2y0?2……10分 21?y022?x0?2y0?22?y0?12?1?y0?2?d?2?1 21?y02当y0??1时,y0?1,d取最小值1……12分
7．（本小题满分14分） 已知函数f(x)?x?sinx
（Ⅰ）若x?[0,?],试求函数f(x)的值域;
2f(?)?f(x)2??x?f();
332f(?)?f(x)2??x与f()的大小关系（Ⅲ）若x?[k?,(k?1)?],??(k?,(k?1)?),k?Z,猜想33（Ⅱ）若x?[0,?],??(0,?),求证:（不必写出比较过程）.
解：（Ⅰ）当x?(0,?)时,f?(x)?1?cosx?0,?f(x)为增函数
又f(x)在区间[0,?]上连续 所以f(0)?f(x)?f(?),求得0?f(x)??
即f(x)的值域为[0,?]??4分（Ⅱ）设g(x)??2f(?)?f(x)2??x2f(?)?sinx2??x?f()，即g(x)???sin
333312??xg?(x)?(?cosx?cos)……6分
33?x?[0,?],??(0,?)2??x??(0,?)
3由g?(x)?0,得x???当x?(0,?)时,g?(x)?0,g(x)为减函数.当x?(?,?)时,g?(x)?0,g(x)为增函数??8分 ?g(x)在区间[0,?]上连续则g(?)为g(x)的最小值对x?[0,?]有g(x)?g(?)?0因而
2f(?)?f(x)2??x?f()?10分332f(?)?f(x)2??x?f() （Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时
332f(?)?f(x)2??x?f()……14分 当k为奇数时
33
2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四
1．（本小题满分14分） 已知f(x)=
2x?a(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.
x2?21的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1x（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A； （Ⅱ）设关于x的方程f(x)=
≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运
用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
4?2ax?2x2?2(x2?ax?2)解：（Ⅰ）f＇(x)== ， 2222(x?2)(x?2)∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ① 设?(x)=x2－ax－2，
方法一：
?(1)=1－a－2≤0， ① ? ?－1≤a≤1， ?(－1)=1+a－2≤0.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a≤1}. 方法二： aa≥0， <0， 22①? 或
?(－1)=1+a－2≤0 ?(1)=1－a－2≤0
? 0≤a≤1 或 －1≤a≤0 ? －1≤a≤1.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a≤1}. （Ⅱ）由
2x?a1=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0 2x?2x∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根， x1+x2=a，
2∴ 从而|x1－x2|=(x1?x2)?4x1x2=a2?8.
x1x2=－2，
∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=a2?8≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立， 即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)， 方法一：
g(－1)=m2－m－2≥0， ② ?
g(1)=m2+m－2≥0，
?m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}. 方法二：
当m=0时，②显然不成立； 当m≠0时，
m>0， m<0， ②? 或
g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
? m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
2．（本小题满分12分）
如图，P是抛物线C：y=C交于另一点Q.
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求
12
x上一点，直线l过点P且与抛物线2|ST||ST|?的取值范围. |SP||SQ|本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能
力.满分12分.
解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0. 由y=
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x， ① 2得y＇=x.
∴过点P的切线的斜率k切= x1， ∴直线l的斜率kl=－
11=-，
k切x1