y设直线l的方程为x?m?ky，M(x1,y1),N(x2,y2)． ????????由MP??PN，得y1??y2?0． y即???1
y2BGO ① （6分）
CPNx????∵BC?(4,0)，
M?????????GM??GN?(x1?t??x2??t,y1??y2)， ?????????????∴BC?(GM??GN)?x1?t??(x2?t)． 即ky1?m?t??(ky2?m?t)． ② 把①代入②，得
2ky1y2?(m?t)(y1?y2)?0
2（8分）
③ （9分）
y2把x?m?ky代入x??1并整理得
3(3k2?1)y2?6kmy?3(m2?1)?0
其中3k2?1?0且??0，即k2?1且3k2?m2?1． 3
（10分）
?6km3(m2?1) y1?y2?2． ,yy1?23k?13k2?1代入③，得
6k(m2?1)6km(m?t) ??0，
3k2?13k2?1化简得 kmt?k． 当t?1时，上式恒成立． m
（12分）
?????????????1因此，在x轴上存在定点G(,0)，使BC?(GM??GN)．
m9．(本小题满分14分)
已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan（p为大于1
2n1?C1na1?Cna2???Cnan的常数），记f(n)?．
2nSn(1) 求an；
(2) 试比较f(n?1)与
p?1f(n)的大小（n?N*）； 2p2n?1p?1??p?1???1??（n?N*）． ??，p?1?2p?????(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)???f(2n?1)解：(1) ∵(1?p)Sn?p?pan，
①
②
∴(1?p)Sn?1?p?pan?1． ②－①，得
(1?p)an?1??pan?1?pan，
即an?1?pan．
（3分）
在①中令n?1，可得a1?p．
∴?an?是首项为a1?p，公比为p的等比数列，an?pn． p(1?pn)p(pn?1)?(2) 由(1)可得Sn?．
1?pp?12n122nnnn1?C1na1?Cna2???Cnan?1?pCn?pCn???Cnp?(1?p)?(p?1)．
（4分）
2n1?C1p?1(p?1)nna1?Cna2???Cnan??∴f(n)?，
p2n(pn?1)2nSn （5分）
p?1(p?1)n?1?f(n?1)?． p2n?1(pn?1?1)p?1p?1(p?1)n?1f(n)??而，且p?1， 2pp2n?1(pn?1?p)∴pn?1?1?pn?1?p?0，p?1?0． ∴f(n?1)?p?1f(n)，（n?N*）． 2p （8分）
(3) 由(2)知 f(1)?p?1p?1f(n)，，f(n?1)?（n?N*）．
2p2pp?1p?12p?1n?1p?1nf(n?1)?()f(n?2)???()f(1)?()． 2p2p2p2p22n?1∴当n…2时，f(n)??p?1?p?1?p?1?∴f(1)?f(2)???f(2n?1)?????????2p?2p??2p?2n?1p?1??p?1????1????， p?1?2p?????
（10分）
（当且仅当n?1时取等号）．
另一方面，当n…2，k?1,2,?,2n?1时， p?1?(p?1)k(p?1)2n?k?f(k)?f(2n?k)????
p?2k(pk?1)22n?k(p2n?k?1)?p?1(p?1)k(p?1)2n?k …?2kk?p2(p?1)22n?k(p2n?k?1)p?12(p?1)n??p2np?12(p?1)n??p2n1 (p?1)(p2n?k?1)k1．
p2n?pk?p2n?k?1∵pk?p2n?k…2pn，∴p2n?pk?p2n?k?1?p2n?2pn?1?(pn?1)2．
p?12(p?1)n??2f(n)，∴f(k)?f(2n?k)…（当且仅当k?n时取等号）．（13分） p2n(pn?1)∴?k?12n?12n?112n?1f(k)??[f(k)?f(2n?k)]…?f(n)?(2n?1)f(n)．（当且仅当n?1时取等号）．
2k?1k?1综上所述，(2n?1)f(n)剟?f(k)k?12n?12n?1p?1??p?1???1??（n?N*）．（14分） ??，p?1?2p?????
2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三
1．（本小题满分13分）
x2y2 如图，已知双曲线C：2?2?1(a?0，b?0)的右准线l1ab与一条渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.
?? （I）求证：OM?MF；
? （II）若|MF|?1且双曲线C的离心率e?的方程；
（III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、
6，求双曲线C2??Q之间，满足AP??AQ，试判断?的范围，并用代数方法给出证明.
ba2解：（I）?右准线l1：x?，渐近线l2：y?x
ac?a2aba2ab222 ?M(，)，?F(c，0)，c?a?b，?OM?(，)
cccc?a2abb2ab，?)?(，?) MF?(c?cccc??a2b2a2b2?2?0 ?OM?MF?c2c （II）?e????OM?MF
……3分
6b2，??e2?1?，?a2?2b2 2a2?b4a2b2b2(b2?a2)?|MF|?1，?2?2?1，??12 ccc?b2?1，a2?1x2?y2?1 ?双曲线C的方程为：2 （III）由题意可得0???1
……7分 ……8分
证明：设l3：y?kx?1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)
?x2?2y2?2 由?得(1?2k2)x2?4kx?4?0
?y?kx?1 ?l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
?1?2k2?0?22??16k?16(1?2k)?0?? ??x?x?4k?0121?2k2??4xx???0?1221?2k? ??1?k???2?k??2??2 ??k?1?k?0?2?1?2k?0?……11分
2 2
?? ?AP??AQ，?(x1，y1?1)??(x2，y2?1)，得x1??x2
4k42，?x??21?2k21?2k2 222(1??)16k4k2????2???4(1?2k2)2k2?12k2?1?(1??)x2?2(1??)22 ??1?k??，?0?2k?1?1，??4
2? ?(1??)2?4???2?2??1?0
……13分
??的取值范围是（0，1）
2．（本小题满分13分）
已知函数f(x)??(x?0)?0?n[x?(n?1)]?f(n?1)(n?1?x?n，n?N*)，
数列{an}满足an?f(n)(n?N*) （I）求数列{an}的通项公式；
（II）设x轴、直线x?a与函数y?f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为S(a)(a?0)，求
S(n)?S(n?1)(n?N*)；
（III）在集合M?{N|N?2k，k?Z，且1000?k?1500}中，是否存在正整数N，使得不等式
an?1005?S(n)?S(n?1)对一切n?N恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足
条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.
（IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得lim(b1?b2???bn)存在，并求出这个极限值.
n??解：（I）?n?N*
?f(n)?n[n?(n?1)]?f(n?1)?n?f(n?1) ?f(n)?f(n?1)?n
……1分
?f(1)?f(0)?1 f(2)?f(1)?2
f(3)?f(2)?3 ……
f(n)?f(n?1)?n