高考数学常用公式及结论
1. 元素与集合的关系
x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式
CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.
3.包含关系
A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA
?A?CUB???CUA?B?R
4.（1）. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C中元素各表示什么？
（2）.注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合A?x|x?2?2x?3?0，B??x|ax?1?若B?A，则实数a的值构成的集合为?
1??（答：?1，0， ??）3?? （3）. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式ax?5x?a2?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a的取值范
a·3?5∵3?M，∴2?03?a围。 (a·5?5∵5?M，∴2?05?a?????a?????5?25?) ???9，?1，?3?5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
2(1)一般式f(x)?ax?bx?c(a?0);
(2)顶点式f(x)?a(x?h)?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.（1）对映射的概念了解吗？
映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种 对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） （2） 如何求复合函数的定义域？
如：函数f(x)的定义域是2?a，b?，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域
是 。 ?a，（答：?a?）
（3）. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f?xx?1?e?x，求f(x).
? 解：令t?x?1，则t?0
2 ∴x?t2?1，∴f(t)?et ∴f(x)?ex2?1?t2?1
?1?x?1?x?0?
2（4）.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
?1?x?x?0?的反函数 如：求函数f(x)??2（答：f???xx?0??1??x?1?x?1? (x)??）????x?x?0?（5）. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
?1 ③设y?f(x的定义域为)A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a
?f?1?f(a)??f?1(b)?a，ff??1(b)?f(a)?b
?8.（1） 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）
设x1?x2??a,b?,x1?x2那么 (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2?0?f(x)在?a,b?上是增函数； ?0?f(x)在?a,b?上是减函数.
（2）.如何判断复合函数的单调性？（同增异减）
如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.
?（y?f(u)，u??(x)，则y?f??(x)（外层）（内层）
u f(x)?log12(x2?ax?a)
f??(x)?为减函数。） O 1 2 x 当内、外层函数单调性 如：求y?log12相同时f??(x)?为增函数，否则?2x的单调区间
??x2?2 （设u??x?2x，由u?0则0?x?2
且log1u?，u???x?1?2?1，如图：
2
当x?(0，1]时，u?，又log12u?，∴y?；当x?[1，2)时，u?，又log12u?，∴y?
（3） 如何利用导数判断函数的单调性？
设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.
如：已知a?0，函数f(x)?x3?ax在?1，???上是单调增函数，则a的最大（ ） A. 0
B. 1
???值是
C. 2
a????x??3??? D. 3
a???0则x??3?? （令f (x)?3x2?a?3?x?a3或x?a3
由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则a3?1，即a?3 ∴a的最大值为3
9. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称 注意结论：
若f(x是 )奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。2xx 如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当的解析式。
0?，则?x??0，1?，f(?x)? （令x???1，24x?(0，1)时，f(x)?4?1求f(x)在(?1,1)上 ，?x?x?12x
又f(x)为奇函数，∴f(x)??24?x?x?1??1?4x
x?2,x?(?1,0)??x4?1??又f(0)?0,?f(x)??0,(x?0)
?x2?,x?(0,1)x??4?1
10.你熟悉周期函数的定义吗？
（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f?x?T??f(x)，则f(x)为周期函数，T是一个
周期。）
如：若f?x?a???f(x)，则（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b???即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)
则f(x)是周期函数2，a?b为一个周期 如：
11. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称 f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称 f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称 f(x)与f?1(x)的图象关于直线y?x对称
f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
0)对称 f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a， 将y?f(x)图象???????????右移a(a?0)个单位左移a(a?0)个单位y?f(x?a)y?f(x?a)
?? ?????????下移b(b?0)个单位上移b(b?0)个单位y?f(x?a)?by?f(x?a)?b
y y=log2x O 1 x 注意如下“翻折”变换：
f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)
如：f(x)?log 2?x?1? 作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的图象
12. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ （1）一次函数：y?kx?b?k?0?
(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x
kx （2）反比例函数：y?推广为y?b?kx?a?k?0?
?k?0?是中心O (a，b)
的双曲线。
（3）二次函数y?ax2b?4ac?b??bx?c?a?0??a?x?图象为抛物线 ??2a4a???b?，对称轴x?? ?2a?ymin?4ac?b4a22222?b4ac?b 顶点坐标为??，?2a4a? 开口方向：a?0，向上，函数
a?0，向下，ymax?4ac?b4a
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax2?bx?c?0，??0时，两根x1、x2为二次函数y?ax不等式ax22?bx?c的图象与x轴
的两个交点，也是二次?bx?c?0(?0)解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。如：
???0??bk????k
?2a y ??f(k)?0 2 二次方程ax?bx?c?0的两根都大于
一根大于k，一根小于k?f(k)?0
x (a>0) O k x1 x2 x （4）指数函数：y?a?a?0，a?1?
（5）对数函数y?log ax?a?0，a?1?由图象记性质！ （注意底数的限定！） y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0