其表面积S?4?R2． 149.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:
棱长为a的正四面体的内切球的半径为
612a,外接球的半径为
64a.
150．柱体、锥体的体积
1V柱体?Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.
31V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.
3151.分类计数原理（加法原理）
N?m1?m2???mn. 分步计数原理（乘法原理）
N?m1?m2???mn. 152.排列数公式
An=n(n?1)?(n?m?1)=
m*
.(n，m∈N，且m?n)．
(n?m)！n！注:规定0!?1. 153.排列恒等式
mm?1(1）An?(n?m?1)An;
（2）Anm?nn?mAn?1;
mmm?1（3）An?nAn?1; nn?1n（4）nAn?An?1?An; mmm?1（5）An?1?An?mAn.
(6) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 154.组合数公式
Cmn=
AnmmAm=
n(n?1)?(n?m?1)1?2???m=
(n∈N*，m?N，且m?n).
m！?(n?m)！n！155.组合数的两个性质
mn?m(1)Cn=Cn ; (2) Cn+Cnmm?1=Cn?1.
m0注:规定Cn?1.
156.组合恒等式
n?m?1m?1m（1）Cn?Cn;
mnmm（2）Cn?Cn?1;
n?m
nm（3）Cnm?nm?1Cn?1;
（4）?Cnr=2n;
r?0?1（5）Crr?Crr?1?Crr?2???Cnr?Cnr?. 112rnn(6)Cn0?Cn?Cn???Cn???Cn?2.
135024n?1(7)Cn. ?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??2123nn?1 (8)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2.
r0r?110rrr(9)CmCn?CmCn???CmCn?Cm?n.
1222n2n)?(Cn)???(Cn)?C2n. (10)(Cn0)2?(Cn157.排列数与组合数的关系
An?m！?Cn .
mm158．单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”
m?1mm?1①某（特）元必在某位有An?1种；②某（特）元不在某位有An?An?1（补集思想）
?An?1An?1（着眼位置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.
1m?1m1m?1（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
km?k①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.
②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1Ak种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一
hk组互不能挨近的所有排列数有AhAh?1种.
（3）两组元素各相同的插空
m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有
Am?1Annnn?k?1k?Cm?1种排法.
nn（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm?n. 159．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?（2）(平均分组无归属问题)将相异的m分配方法数共有 N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n...?C2n?Cnm!nnnnnnnnnn(mn)!(n!)m.
·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其
?(mn)!m!(n!)m.
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则
nnn其分配方法数共有N?Cp?Cp?n...Cn?m!?12m1mp!m!n1!n2!...nm!.
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有N?mCp1?Cp2?n1...Cnm?m!nnna!b!c!... ?p!m!n1!n2!...nm!(a!b!c!...).
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，
n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数
有N?p!n1!n2!...nm!.
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，
n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，
则其分配方法数有N?p!n1!n2!...nm!(a!b!c!...).
（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n1，
n2，?，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
mN?Cp1?Cp2?n1...Cnm?nnnp!n1!n2!...nm!.
160．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为
f(n)?n![12!?13!1?14!???(?1)n1n!].
推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 f(n,m)?n!?Cm(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!???(?1)C(n?p)!???(?1)C(n?m)!?n![1?CmA1n1234ppm2mmm
m?CmA2n?CmA2n3?CmA4n4???(?1)pCmAppn???(?1)mCmAmn].
161．不定方程x1+x2+?+xn?m的解的个数
?(1)方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）的正整数解有Cm?1个. ?(2) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）的非负整数解有 Cn?m?1个.
??(3) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)
n?1n?1的非负整数解有Cm?1?(n?2)(k?1)个.
??(4) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)
n?1的正整数解有Cn?m?1?Cn?2Cm?n?k?2?Cn?2Cm?n?2k?3???(?1)162.二项式定理
(a?b)nn?11n?12n?1n?2Cn?2Cm?1?(n?2)k个.
b???Cnb ;
rnnn?2n?1?Cna0n?Cna1n?1b?Cna2n?2b???Cna2rn?r
二项展开式的通项公式
Tr?1?Cnarn?rb(r?0，1，2?，n).
r163. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0 （2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。
A B
（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和（并）。
（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 A·B??
（6）对立事件（互逆事件）： “A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件 A?A??，A?A??
，A
164 对某一事件概率的求法：
A包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数mn 分清所求的是：（1）等可能事件的概率 P(A)? （2）若A、B互斥，则P?A?B??P(A)?P(B)
?
（3）.n个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． （4）P(A)?1?P(A)
（5）.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
（6）.n个独立事件同时发生的概率
P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)．
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品；
（2）从中任取5件恰有2件次品；
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
3
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10 而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
（4）从中依次取5件恰有2件次品。 解析：∵一件一件抽取（有顺序）
165.抽样方法主要有：
1.简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；
2.系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个； 3.分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
166..对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的平均值和方差去估计总体的平均值和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
?xmax?xmin?； （1）算数据极差
（2）决定组距和组数； （3）决定分点；
（4）列频率分布表； （5）画频率直方图。 其中，频率 样本平均值：
?小长方形的面积?组距×频率组距
x?1n?x1?x2????xn?