? 则AB??x2?x1，y2?y1?
|AB|???x2?x1???y2?y1?，A、B两点间距离公式
2258.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 59.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0. 61. 平面向量的数量积
（1）a·b?|a·||b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。 ?为向量a与b的夹角，???0，??
B ????????
? b O ? ?a
D A 数量积的几何意义：
a ·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。 （2）数量积的运算法则
?????????·b?b·a ①a·c?b·c ②(a?b)c?a?????????x2，y2??x1x2?y1y2 ·b??x1，y1· ③a???????? 注意：数量积不满足结?合律(a·b·)c?a·(b·c)
?b??x2，y2? （3）重要性质：设a??x1，y1?，????·b?0?x1·x2?y1·y2?0 ①a⊥b?a??????????·b?|a·||b|或a·b??|a·||b| ②a∥b?a
??? ?a??b （b?0，?惟一确定） ?x1y2?x2y1?0 ③a?|a|2?x12?y12，|a·b|?|a·||b| ［练习］ （1）已知正方形 答案：22
1?，b??4，x?，当x?时a与b共线且方向相同 （2）若向量a??x，?????????????|a?b?c|?ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则?2?????
答案：2
b均为单位向量，它们的 （3）已知a、??夹角为60，那么|a?3b|?o??
答案：13
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).
???????????? (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).
(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).
(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2). 63.两向量的夹角公式
x1x2?y1y2(a=(x1,y1),b=(x2,y2)). cos??2222x1?y1?x2?y264.平面两点间的距离公式
???? dA,B=|AB|?????????AB?AB 2?(x2?x1)?(y2?y1)(A(x1,y1)，B(x2,y2)).
265.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.
66.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1?x2?x33,y1?y2?y33).
67. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则
????2????2????2（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC.
?????????????（2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0.
????????????????????????（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.
??????????????ABC（4）O为的内心?aOA?bOB?cOC?0.
????????????（5）O为?ABC的?A的旁心?aOA?bOB?cOC. 68. 不等式的性质有哪些？
（1）a?b，c?0?ac?bcc?0?ac?bc
（2）a?b，c?d?a?c?b?d （3）a?b?0，c?d?0?ac?bd （4）a?b?0?1a?1b，a?b?0?1a?1b
na?nb （5）a?b?0?an?bn， （6）|x|?a?a?0???a?x?a，|x|?a?x??a或x?a 如：若1a?1b?0，则下列结论不正确的2是（） D.ab?ba?2
A.a2?b2;B.ab?b; C.|a|?|b|?|a?b|;
69.常用不等式：
（1）a,b?R?a2?b2?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． （2）a,b?R??a?b2?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0). （4）柯西不等式
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.
22222（5）a?b?a?b?a?b. 注意如下结论： (1)
a?b222?a?b2?ab?2aba?b?a，b?R??
当且仅当a?b时等号成立.
(2)a2?b2?c2?ab?bc?ca?a，b?R? . 当且仅当a?b?c时取等号。 (3) a?b?0，m?0，n?0，则 如：若x?0，则2?3x???ba?b?ma?m?1?a?nb?n?ab
4x的最大值为.
（设y?2??3x?4???2?212?2?43 x?
4x233 当且仅当3x?，又x?0，∴x?xy时，ymax?2?43）
又如：x?2y?1，则2?4的最小值为∴最小值为22） （∵2x?22y?22x?2y?221，.
70.极值定理
已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p； （2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值
142s.
推广 已知x,y?R，则有(x?y)2?(x?y)2?2xy （1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大； 当|x?y|最小时,|x?y|最小.
（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小； 当|x?y|最小时, |xy|最大.
71.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0，)如果a与
ax?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之
22间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).
72.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
x?a?x?a222??a?x?a.
x?a?x?a?x?a或x??a.
273. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）, 并注意简单放缩法的应用. 如：证明 1? （1?122122?132????1?1n12?2 ?12?3????1?132????1n21?2?n?1?n
?1?1?12?12?13????1n?1?1n?2?1n?2）
74.解分式不等式f(x)g(x)?a?a?0?的一般步骤是什么？
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果.） 75. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
如：?x?1??x?1?2?x?2?3?0
76. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论
77. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
78. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值 a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值 a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值 例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是
（设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定 umin?3???2??5，∴5?a，即a?5
点?2和3距离之和
x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5） 或者：
例如：解不等式1??（解集为?x|x??）|x?3|?x?1?1
2??
79.无理不等式
?f(x)?0?（1）f(x)?g(x)??g(x)?0 .
?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?（2）f(x)?g(x)??g(x)?0. 或?g(x)?0??f(x)?[g(x)]2??f(x)?0?（3）f(x)?g(x)??g(x)?0.
?f(x)?[g(x)]2?80.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);