2018-2019年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试
精品试题（一）
一 选择题
1．已知a、b、c是不全相等的任意实数.若
x?a2?bc,y?b2?ac,z?c2?ab，则x、y、z的值( )
（A）都大于0； （B）至少有一个大于0； （C）至少有一个小于0； （D）都不小于0. 2．在复平面上，满足方程zz?z?z?3的复数z所对应的点构成的图形是（ ）
（A）圆； （B）两个点； （C）线段； （D）直线. 3．设函数f(x)?x8?x5?x2?x?1，则f(x)有性质（ ） （A）对任意实数x，f(x)总是大于0； （B）对任意实数x，f(x)总是小于0； （C）当x?0时，f(x)?0； （D）以上均不对.
4．若空间三条直线两两成异面直线，则与a、b、c都相交直线有（ ） （A）0条； （B）1条； （C）多于1的有限条； （D）无究多条
3bx?2cx?d,其中a,b,c,为5．设f(x)?x4?ax?d常数。若
1。 f(1)?1,f(2)?2,f(3)?3,则(f(4)?f(0))的值是（ ）
4（A）1 （B）4 （C）7 （D）8
6．设S是由n(n?5)个人组成的集合，如果S中任意4个人当中都至少有1个人和其余3个人互相认识，则下面判断正确的选项是（ ）。
A. S中没有人认识S中所有人 B. S中至少有1人认识
S中所有人
C. S中至多有2人不认识S中所有人 D. S中至多有2人认识S中所有人
二 解答题
7．已知f(x)?x2?px?q,求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于8．
一袋中有a个白球和b个黑球，从中任取一球，如果取出白球，那么把它放回袋中；如果取出黑球，那么该黑球不再放回，另补一个白球到袋中，在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn. （1）求EX1；
（2）设P(Xn?a?k)?pk，求P(Xn?1?a?k),k?0,1,,b; （3）证明：EXn?1?(1?
9．按要求完成下列各问 （1）设f(x)?x1nx,求f'(x); （2）设0?a?b，求常数C，使得
1b1nx?Cdx取得最小值； ?ab?a1)EXn?1. a?b12
（3）记（2）中的最小值为ma,b，证明：ma,b?1n2.
10．空间有n个平面，每三个平面交于一点，但无四面共点，试问：
这些平面将空间分成几部分？
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精品试题（二）
一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，
只有一项正确，把所选项的字母填在括号内) 1．若今天是星期二，则31998天之后是
A．星期四
( ) B．星期三
C．星期二
D．星期一
2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 A．
48 13!( )
216 13!B．C．
1728 13!D．
8 13!3．方程cos2x?sin2x+sinx＝m+1有实数解，则实数m的取值范围是 A．m?
18( ) B．m >?3
C．m >?1
D．?3?m?
184．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q＝
0的两个根，则此数列各项的积是 A．pm
B．p2m
( ) C．qm
D．q2m
5．设f ’(x0)＝2，则limh?0 A．?2
f(x0?h)?f(x0?h)
h( ) B．2
C．?4
D．4
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
1．设f(x)的原函数是x?1，则?0f(2x)dx?__________． 2．设x?(0,)，则函数(sin2x?21?112)(cosx?)的最小值是22sinxcosx__________．
3．方程3?16x?2?81x?5?36x的解x＝__________．
4．向量a?i?2j在向量b?3i?4j上的投影(a)b?__________． 5．函数y?2x?33x2的单调增加区间是__________．
6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．
7．方程7x2?(k+13)x+k2?k?2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是__________．
8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）
1．(6分)已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有a1?a2??an?n，
32a1a2an?n?1． 2试证：a1，a2，…，an中至少有一个小于1．
2．(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)＝?f(?x)，f(0)＝1，f(3)＝4，试求f(x)．
1p?2p??np(p?0)． 3．(8分)求极限limn??np?1
?x2?bx?c,x?04．(10分)设f(x)??在x＝0处可导，且原点到f(x)
lx?m,x?0?中直线的距离为，原点到f(x)中曲线部分的最短距离为3，试
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