14．设a,b,c表示三角形三边的长，均为整数，且a?b?c，若b=n（正整数），则可组成这样的三角形______个．
15．有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相
同，则这两个数为_______．
16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学
分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________台． 二、计算与证明题（本题共86分）
17．（本题12分）（1）设n为大于2的整数，试用数学归纳法证明下
列不等式：
11(1)1?2?2?23x2sinx11?1， ?2?2?；(2)已知当0?x?1时,1??6xnn 试用此式与(1)的不等式求lim(sin1?2sin?3sin??nsin) n??
18．（本题14分）若存在实数x，使f(x)=x，则称x为f(x)的不动
点，已知函数f(x)?2x?a有两个关于原点对称的不动点 x?b1n12131n(1) 求a,b须满足的充要条件；
(2) 试用y=f(x)和y=x的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）
19．（本题14分）欲建面积为144m2的长方形围栏，
它的一边靠墙（如图），现有铁丝网50m，问
筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度．
20．（本题14分）设数列{an}满足关系an?1?2an2?1(n?1,2,)，若N满
足aN?1(N?2,3,)， 试证明：(1) |a1|?1；
21．（本题16分）设f(x)?|lgx|,a,b为实数，且
(2) a1?cosk? （k为整数） N?22x 144m2 y 0?a?b,若a,b满足f(a)?f(b)?2f(a?b) 2试写出a与b的关系，并证明在这一关系中存在b满足3 22．（本题16分）A和B两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再 继续掷，掷出不是一点时，由对方接着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率是Pn．试求：(1) Pn+1用Pn表示的式子；(2) 极限limPn n?? 2003年南京大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4 一、填空题（本大题共40分，每题4分） 1．三次多项式f(x)满足f(3)＝2f(1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________． 2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是_______________． 3．已知x,y?R?，x+2y＝1，则?的最小值是______________． 4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________． 5．已知f(x)?ax7+bx5+x2+2x?1，f(2)??8，则f(?2)?_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分． 8．有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法． 9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________． 10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共60分，每题10分） 11．数列{an}的a1?1，a2?3，3an+2?2an+1+an，求an和liman． n?? 2x2y 12．3个自然数倒数和为1．求所有的解． 13．已知x1000+x999(x+1)+…+(x+1)1000，求x50的系数． 12?C14．化简：(1) 1?1!?2?2!??n?n!； (2) Cn?1n?2?k?Cn?k． a3?2a15．求证：4为最简分式． 2a?3a?1 16．证明不等式()n?n!?()n，当自然数n≥6时成立． n2n3