1??6?6x?????x?x??221.x?R?，求f?x???x?3的最小值。
1??3?3x????x?xx??622.f1?x??2x?1，fn?1?x??f1??fn?x???，求f28?x? x?123.2y?x2?6xcost?9sin2t?8sint?9（t?R,t为参数）
①求顶点轨迹，②求在y?12上截得最大弦长的抛物线及其长。 24.an为递增数列，a1?1，a2?4，在y?x上对应为Pn?an,an?，以
OPn,OPn?1与曲线PnPn?1围成面积为Sn，若?Sn?为q?4的等比数列，5求?Si和liman。
i?1?n??2018-2019年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试
精品试题（七）
一、填空题（本题共40分，每小题4分） 1．数N?212?58的位数是________________．
2．若log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝log4[log2(log3z)]＝0，则x+y+z＝_________．
3．若log23＝p，log35＝q，则用p和q表示log105为________________． 4．设sin?和sin?分别是sin?与cos?的算术平均和几何平均，则cos2?:cos2?＝____________．
5．设x?[0,]，则函数f(x)＝cosx+xsinx的最小值为
2?________________．
6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________．
7．若在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_______________．
8．在(1+2x?x2)4的二项展开式中x7的系数是_______________． 9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a厘米在排版时比原稿上多1．虽然如此，答案
却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a＝________________．
10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰
能排列成公差为1的等差数列的概率为_________________． 二、选择题（本题共32分，每小题4分）
11．a>0，b>0，若(a+1)(b+1)＝2，则arctana+arctanb＝
A．
?2( ) B．
?3C．
?4D．
?612．一个人向正东方向走x公里，他向左转150°后朝新方向走了3
公里，结果他离出发点3公里，则x是 A．3 ?132?116
B．23 ?18?14?12( ) C．3
D．不能确定
13．(1?2)(1?2)(1?2)(1?2)(1?2)?
( )
C．1?2
?1321?132D．(1?2)
211??132?132?1A．(1?2) B．(1?2)
214．设[t]表示≤ t的最大整数，其中t≥0且S＝{(x,y)|(x?T)2+y2
≤T2,T＝t?[t]}，则
( )
B．S的面积
A．对于任何t，点(0,0)不属于S 介于0和?之间
C．对于所有的t≥5，S被包含在第一象限
D．对于任何
t，S的圆心在直线y＝x上
15．若一个圆盘被2n(n>0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则
这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是 A．2n+2
B．3n?1
( ) C．3n
D．3n+1
16．若i2＝?1，则cos45°+icos135°+…+incos(45+90n)°+…
+i40cos3645°＝ A．
1 2
212 22(21?20i) 2( )
2(21?20i)2B．D．
C．
17．若对于正实数x和y定义x?y?
( )
xy，则 x?y
A．”*”是可以交换的，但不可以结合 以结合的，但不可以交换
C．”*”既不可以交换，也不可以结合 以交换和结合的
B．”*”是可
D．”*”是可
18．两个或两个以上的整数除以N(N为整数，N>1)，若所得的余数相
同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余．若69，90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N，81同余于 A．3
( ) B．4
C．5
D．7
三、计算题（本题共78分）
19．(本题10分)已知函数f(x)＝x2+2x+2，x∈[t,t+1]的最小值是
g(t)．试写出g(t)的解析表达式．
11(x?)6?(x6?6)?2xx20．(本题12分)设对于x>0，f(x)?，求f(x)的最1331(x?)?x?3xx小值．
21．(本题16分)已知函数f1(x)?2x?1，对于n＝1,2,3,…定义fn+1(x)x?1＝f1[fn(x)]．若f35(x)＝f5(x)，则f28(x)的解析表达式是什么？
22．(本题20分)已知抛物线族2y＝x2-6xcost-9sin2t+8sint+9，其
中参数t∈R．
(1) 求抛物线顶点的轨迹方程；
(2) 求在直线y＝12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．
23．(本题20分)设{xn}为递增数列，x1＝1，x2＝4，在曲线y?x上与之对应的点列为
y Pn+1 Pn P1(1,1),P2(4,2),
且P3(x3,x3),…,Pn(xn,xn)…，以O为原点，由OPn、OPn+1与曲线PnPn+1所围成部分的面积为Sn，若{Sn}(n∈N)是公比为
O Xn Xn+1 x 32342的等比数列，图形XnXn+1Pn+1Pn的面积为(xn?1?xn2)，
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