3 流体运动学基础
一、学习目的和任务
1.理解拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法的基本思想。 2.掌握流体动力学中的若干基本概念。
3.掌握流体运动的连续性方程的积分形式及其应用。
4.了解连续性方程的微分形式和圆柱坐标系、球面坐标系中的连续性方程。 5.了解流体微元的运动分析的基本方法，理解亥姆霍兹速度分解定理。 6. 理解流体微元运动的四种形式。
二、重点、难点
1.重点
欧拉(Euler)方法、连续性方程的积分形式、亥姆霍兹速度分解定理、微元运动的四种形式。 2.难点
连续性方程、亥姆霍兹速度分解定理。
流体运动学主要讨论流体的运动参数（例如速度和加速度）和运动描述等问题。运动是物体的存在形式，是物体的本质特征。流体的运动无时不在，百川归海、风起云涌是自然界流体运动的壮丽景色。而在工程实际中，很多领域都需要对流体运动规律进行分析和研究。因此，相对于流体静力学，流体运动学的研究具有更加深刻和广泛的意义。
3.1 描述流体运动的二种方法
为研究流体运动，首先需要建立描述流体运动的方法。从理论上说，有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。流体运动的各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体的流动参数。对流体运动的描述就是要建立流动参数的数学模型，这个数学模型能反映流动参数随时间和空间的变化情况。拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。下面分别介绍这二种方法。
3.1.1拉格朗日(Lagrange)方法
这是一种基于流体质点的描述方法。通过描述各质点的流动参数变化规律，来确定整个流体的变化规律。无数的质点运动组成流体运动，那么如何区分每个质点呢？区分各质点方法是根据它们的初始位置来判别。这是因为在初始时刻（t=t0）,每个质点所占的初始位置（a,b,c）各不相同，所以可以据此区别。这就像长跑运动员一样，在比赛前给他们编上号码，在任何时刻就不至于混淆身份了。当经过△t时间后，t= t0+△t，初始位置为a,b,c）的某质点到达了新的位置(x,y,z)，因此，拉格朗日方法需要跟踪质点的运动，以确定该质点的流动参数。拉格朗日方法在直角坐标系中位移的数学描述是：
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x?x(a,b,c,t)?? y?y(a,b,c,t)? （3－1）
z?z(a,b,c,t)??式中，初始坐标（a,b,c）与时间变量t无关，（a,b,c,t）称为拉格朗日变数。类似地，对任一
物理量N，都可以描述为：
N?N(a,b,c,t) （3－2）
显然，对于流体使用拉格朗日方法困难较大，不太合适。
3.1.2欧拉(Euler)方法
欧拉方法描述适应流体的运动特点，在流体力学上获得广泛的应用。欧拉方法利用了流场的概念。所谓流场，是指流动的空间充满了连续的流体质点，而这些质点的某些物理量的分布在整个流动空间，形成物理量的场，如速度场、加速度场、温度场等，这些场统称为流场。通过在流场中不同的空间位置(x,y,z)设立许多“观察点”，对流体的流动情况进行观察，来确定经过该观察点时流体质点的流动参数，得到物理量随时间的函数(x,y,z,t)，(x,y,z,t)称为欧拉变数。欧拉方法在直角坐标系中位置的数学描述是：
x?x(x,y,z,t)??y?y(x,y,z,t)? （3－3） z?z(x,y,z,t)??类似地，对任一物理量N，都可以描述为：
N?N(x,y,z,t) （3－4）
需要注意的是，“观察点”的空间位置(x,y,z)是固定的，当质点从一个观察点运动到另一个观
察点，质点的位移是时间t函数（同样地，其他物理量也是），只不过这种函数是用观察点和时间t为变量，即欧拉变数(x,y,z,t)表示出来的。因此，欧拉变数(x,y,z,t)中的x、y、z不是独立变量，它们也是t的函数，即有：
x?x(t)??y?y(t)? （3－5） z?z(t)??
欧拉方法对流场的表达式举例如下： 描述速度场的表达式：
v?v(a,b,c,t)，或写成分量形式： （3－6）
vx?vx(x,y,z,t)??vy?vy(x,y,z,t)? （3－7）
?vz?vz(x,y,z,t)?压强场的表达式：
p?p(x,y,z,t) （3－8）
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密度场的表达式：
???(x,y,z,t) （3－9）
温度场的表达式：
T?T(x,y,z,t) （3－10）
可以用河流上的水文站来理解欧拉方法。为测绘河流的水情，需要在河流沿线设立许多水文站，即水情观察点，综合各水文站的数据，即可知道整个河流的水文情况（如水位分布、流速分布等）。
如果将观察点的区域适当扩大，这样的观察点又称为控制体。与观察点一样，控制体的空间坐标和形状一经确定，即固定不变。控制体的表面称为控制面，流体质点经过控制面进出控制体。控制体是研究流体运动的常用方法。 3.1.3拉格朗日方法与欧拉方法的等价关系
上述二种方法的着眼点尽管不同，实质上它们是等价的。如果编号为（a,b,c）的质点，在t时刻正好到达空间位置(x,y,z)，则根据（3－1）和（3－3）有：
N?N(x,y,z,t)?N[x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)]?N(a,b,c,t) （3－11）
因此，用一种方式描述的质点流动规律完全可以转化为另一种方式。本书中的描述主要是用欧拉方法。
3.2 流体动力学中的基本概念
为后面叙述方便，本节集中介绍流体动力学中经常使用的几个概念。
3.2.1定常场与非定常场
如果流场中的各物理量的分布与时间t无关，即：
?v?p???T????????0 （3－12） ?t?t?t?t则称为定常场或定常流动。定常场各物理量分布具有时间不变性。如果任何一个物理量分布
不具有时间不变性，则称为非定常场或非定常流动。
3.2.2均匀场与非均匀场
如果流场中的各物理量的分布与空间无关，即：
?v?v?v?p?p?p???????T?T?T???????????????0 （3－13） ?x?y?z?x?y?z?x?y?z?x?y?z则称为均匀场或均匀流动。均匀场各物理量分布具有空间不变性。如果任何一个物理量分布不具有空间不变性，则称为非均匀场或非均匀流动。
3.2.3质点导数
将式（3－4）对时间t求导，因其中的变量x、y、z又是t的复合函数，见式（3－5），故有：
dN?Ndx?Ndy?Ndz?N???? （3－14） dt?xdt?ydt?zdt?t
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我们称上式为质点导数。
考虑到位移对时间的导数就是速度，即：
dxdydz＝vx,＝vy,＝vz （3－15） dtdtdt所以质点导数又可写成：
dN?N?N?N?N （3－16） ?vx?vy?vz?dt?x?y?z?t若令： ??i则（3－16）又可写成：
??? （3－17） ?j?k?x?y?zdN?N?（v??)N? （3－18） dt?t式中，?称为哈密顿（Hamilton）算子，是按照式（3－17）进行微分的记号。
分析式（3－18），知质点导数由二部分组成： （1）
?N：称为当地导数，反映是物理量随时间的变化率。在定常场中，各物理量均不随?t时间变化，故当地导数必为零。 （2）vx?N?N?N?vy?vz或称为迁移导数，反映是物理量随空间的变化率。（v??)N：?x?y?z在均匀场中，各物理量均不随空间变化，故迁移导数必为零。
下面以物理量速度v为例，进一步说明质点导数的物理意义。由式（3－18），速度v的质点导数为：
dv?v?（v??)v? （3－19） dt?t直角坐标系中，也可写成：
dvx?v?v?v?v?v??（v??)vx?x?vxx?vyx?vzx?x?dt?t?x?y?z?t?dvy?vy?vy?vy?vy?vy??（v??)vy??vx?vy?vz? ? （3－20）dt?t?x?y?z?t?dvz?v?v?v?v?v??（v??)vz?z?vxz?vyz?vzz?z?dt?t?x?y?z?t?
式（3－20）中，速度的质点导数就是质点的加速度，它同样由当地导数（当地加速度）和
?vx表示vx随时间t的变化率，?t?v即由时间引起的加速度。迁移导数是三项之和，其中的vxx表示由x方向位移引起的加
?x迁移导数（迁移加速度）组成。例如，在x向，当地导数
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速度， vy?vx?vx表示由y方向位移引起的加速度，vz表示由z方向位移引起的加速度。
?z?y由此可见，在用欧拉方法描述流体运动时，质点加速度不再是
简单的速度对时间求导，还要包含位移引起加速度。图3－1所示装置可以说明质点加速度的概念。装在水箱中的水经过水箱底部的一段等径管路a及变径喷嘴段b，由喷嘴喷出。除速度和加速度外不考虑其他物理量，也不考虑管路截面上的流动，则流动方向只有沿管路s方向，v是经过管路的平均速度。在水位高h维持不变的条件下，管路a段的速度是匀速运动，
即速度与时间t和空间位置s无关，形成的流场是定常场和均匀场，因空间位置s改变引起的迁移加速度和因时间t引起的当地加速度都是零。管路b段的速度沿s逐渐加快，但不随时间t改变，因此形成的流场是定常场和非均匀场，因空间位置s改变引起的迁移加速度不为零，因时间t引起的当地加速度是零。依此，读者可以分析在水位高h持续下降的情况下，二段的迁移加速度和当地加速度的情况。
图3－1 当地加速度与
迁移加速度
3.2.4迹线与流线
3.2.4.1 迹线与流线的定义
迹线是流体质点运动轨迹线，是拉格朗日方法描述的几何基础，用此方法描述时，表达式就是式（3－1）。
流线是流场中假想的这样一条曲线：某一时刻，位于该曲线上的所有流体质点的运动方向都与这条曲线相切。可见，流线是欧拉方法描述的几何基础。同一时刻，流场中会有无数多条流线（流线簇）构成流动图景，称为流线谱或流谱。
虽然流线是假想的，但采用流场可视化技术仍然可以观察到流线的存在。比如，在流场中均匀投入适量的轻金属粉末，用合适的曝光时间拍摄照片，则许多依次首尾相连的短线就组成流场中的流线谱。如图3－2，流体通过二种不同的管中窄口处出现的流现形状。 图3－2流线谱中显示的流线形状
3.2.4.2 流线的作法
在流场中任取一点（如图3-3），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量v1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量v2?，如此继续下去，得一折线1234 ?n，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。 图3－3流线的作法 图3－4流线微分方程式
3.2.4.3 流线微分方程式
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