3.3.1积分形式的连续性方程
如图3－12，在流场中取任意形状的控制体，则有流线穿入或穿出该控制体。如前所述，控制体一经取定，其形状、大小和空间位置就不得再行改变。
图3－12流场中的控制体
现设控制体体积V，表面积A，控制体内含有的流体质量m用体积积分表示为
m?????dV
Vm随时间t的变化率记为
?m??????dV （3－39） ?t?tV根据质量守恒定律，m的变化必有原因。当控制体不变时，影响其内部流体质量增减的唯一因素就是通过表面A流入、流出的质量多少。在单位时间内，当流出大于流入时，m必减小，反之，则增加，且m增加或减少的质量就是流出与流入的质量之差。利用质量净通量概念可得等式
???v?ndA??A? ?dV （3－40）????tV或者写成
???v?ndA?A??dV?0 （3－41） ?t???V根据质量净通量的意义，
???v?ndA?0，表示A上流出质量大于流入质量，控制体V内
A质量减少，故
??dV?0，二者符号相反，反之亦然。 ?t???V式（3－41）就是质量守恒定律在运动流体中的数学表示，称为积分形式的连续性方程，简
称连续性方程或连续方程式。实际应用需要使用其简化形式，常用的简化形式有 （1）定常流动
在定常流动中，流场任何空间点处的密度不随时间改变，故微元的质量也不改变，进而整个控制体内的质量也不变，即
??dV?0，因此，式（3－41）简化为 ?t???V59
???v?ndA?0 （3－42）
A
上式的意义是：当定常流动时，在单位时间内，从控制体的表面A流出的质量与流入的质量相等。该式对可压缩的和不可压缩的流体都适用。 （2）不可压缩的流体流动
当流体是不可压缩时，流场中密度处处相等且为恒量，又考虑到控制体V不变，故
???dV??dV＝0 ????t????tVV因此，式（3－41）简化为
??v?ndA?0 （3－43）
A上式的意义是：当流体是不可压缩时，在单位时间内，从控制体的表面A流出的体积与流
入的体积相等。值得注意的是，该式对定常流动和非定常流动都适用。 （3）一元流动
如图3－13，当流体在流管l（工程实际中的管道可以视为流管）内流动，流体只能从过流断面A1流入，A2流出。在断面上取微元dA1－dA2，则微元内流动就是一元流动，在定常场中，其极限情形是流体沿流线流动。若将整个流管都视为一元流动，则式（3－42）可以写成
???v?ndA???v?ndA???v?ndA?0 （3－44）
21AA2A1这就是一元流动时的连续性方程。
在定常流场中，用平均流速代替真实流速，平均密度代替真实密度，上式简化成
图3－13一元流动
或
?2v2A2??1v1A1?0
?1v1A1??2v2A2 （3－45）
对既是定常场又不可压缩的流动，?1??2?C，故式（3－46）可以更简单地表示为
v1A1?v2A2 （3－46）
在工程实际中，被直接使用的公式多是式（3－46）。
*3.3.2微分形式的连续性方程
微分形式的连续性方程可以用二种方法导出：微元控制体分析法和有限控制体分析法，下面分别介绍。
3.3.2.1 微元控制体分析法
采用微元控制体分析法的前提是要求流场中流体物理量时时处处连续可微，对于不同的坐标系，还要求选定相适应的控制体形状。当采用直角坐标系时，选取控制体形状为立方体。
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如图3－14，在t时刻的流场中，任选一点A(x, y, z)，以A为角点作一个立方体，各面都与相应的坐标面平行，三个边长分别为dx、dy和dz。设该时刻A点的速度为v = (vx, vy, xz)，密度为ρ，由于dx、dy和dz很小，可以认为交于A点的三个面上的速度和密度都和A点相同，而其他三个面上的速度和密度则由多元函数的泰勒展开式取一阶小量得到。例如，在x 方向上，平面ABCD上的速度为vx，平面EFGH上的速度则为vx??vxdx。 ?x?(?vx)dx]dydz。这样?x现在分析立方控制体内的质量的变化。先考察在x 方向，在t时刻，从平面ABCD流入控制体的质量为?vxdydz，平面EFGH上流出的质量则为[?vx?我们得到：单位时间内，在x 方向从控制体的净流出质量为
图3－14 立方型微元控制体
?(?vx)dxdydz ?x
同理，可以得到y、z 方向从控制体的净流出质量为
?(?vy)?y三者之和为
dxdydz和
?(?vz)dxdydz ?z??(?vx)?(?vy)?(?vz)? ????dxdydz （3－47）
?y?z???x与此同时，因为控制体的体积是不变的，控制体内流体质量的流失必然造成控制体密度的减
少，在单位时间内，由于密度减少使控制体内的质量减少了
???dxdydz （3－48） ?t负号表示增量的变化方向与式（3－47）相反，即流出质量为正号时，控制体内的质量增量为负。根据质量守恒定律，式（3－47）与式（3－48）应该相等，即
??(?vx)?(?vy)?(?vz)????dxdydz ＝??dxdydz???t?y?z???x
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化简得
???(?vx)?(?vy)?(?vz) ????0 （3－49）
?t?x?y?z上式即为直角坐标系中微分形式的连续性方程，适用于可压缩流体的三元流动和非定常流
动。
若是定常流动，流场中各点的密度不随时间而变化，故（3－49）简化为
?(?vx)?(?vy)?(?vz)???0 （3－50） ?x?y?z若是不可压缩流体，密度为常数，故（3－49）又简化为
?vx?vy?vz ???0 （3－51）
?x?y?z
3.3.2.2 有限控制体分析法
利用高等数学中的基础知识对式（3－41）中的两项改写。 （1）将对面积的曲面积分积分，过程如下：
???v?ndA化为对坐标的曲面积分，利用奥－高公式再化为三重
AxyzA???v?ndA???(?vdydz??vdxdz??vdxdy)
A??(?vx)?(?vy)?(?vz)?????????dxdydz （3－52）
?x?y?z?V?（2）利用控制体与时间无关的特性，将化过程：
??dV中的积分、微分顺序颠倒，即有如下变????tV????????dV?dV?dV?dxdydz （3－53） ?????????????tV?t?t?tVVV由式（3－41、（3－52）和（3－53）得
????(?vx)?(?vy)?(?vz)??????dxdydz?0 ????t?x?y?z?V?因为控制体V是在流场中任取的，且被积函数处处连续，故要使上式成立，必然有被积函
数为零，即
???(?vx)?(?vy)?(?vz)????0 （3－54） ?t?x?y?z上式与式（3－49）完全相同。
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*3.3.3 圆柱坐标系和球面坐标系中的连续性方程
在许多实际的流动问题中，运动物体可能是一种轴对称或球体，流场的边界可能是曲面或曲线，此时利用曲线坐标系更为方便，而圆柱坐标系和球坐标系是最常用的坐标系。为避免繁琐的推导，这里直接给出圆柱坐标系和球坐标系中的连续性方程。
3.3.3.1 圆柱坐标系
圆柱坐标系通常用坐标来表示，参见图3－15，易得它与直角坐标系（r,?,z）（x,y,z）的关系
r?x2?y2?x?rcos???y??y?rsin?? 或者 ??arctan? （3－55）
x??z?z?z?z??连续性方程为
?(?vr)?(?v?)?(?vz)?vr???????0 （3－56） ?rr???zr?t
图3－15 圆柱坐标系 3.3.3.1 圆柱坐标系
圆柱坐标系通常用坐标来表示，参见图3－16，易得它与直角坐标系（r,?,?）（x,y,z）的关系
图3－16 球坐标系
??r?x2?y2＋z2?x?rsin?cos???z?y?rsin?sin?? 或者 ??arccos ? （3－57）222x?y＋z??z?rcos???y???arctanz?
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