u2pd（)?dz?d()?0
2g?g积分得
pu2z???C (4-17)
?g2g式中C为常数。这就是著名的理想不可压缩流体伯努利方程，是瑞士科学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）于1738年发表的。由于式(4-17)是在任意点导出的，故对流线上任意二点，都有下式成立
pupuz1?1?1?z2?2?2 (4-18)
?g2g?g2g当速度u为0时，上式就转化为平衡流体的流体静力学基本方程
22z?p?C ?g理想不可压缩流体伯努利方程的物理意义如下： z：代表单位重力流体的位能，或简称位置水头。
p：代表单位重力流体的压能，或简称压强水头。 ?gu2：代表单位重力流体的动能，也简称速度水头。 2g因为理想流体没有能量损失，理想不可压缩流体伯努利方程说明在理想流体中，流体的总机械能（位能、压能、动能）守恒。由此可见，伯努利方程式实质就是物理学能量守恒定律在流体力学上的具体体现。
4.3.2总流上的伯努利方程
公式(4-18)只是在一条流线上成立的方程式，而工程上常常需要的是求解总流（管道内）的问题。参见图3－13，A1、 A2分别是总流上的两个过流截面，平均速度分别是v1、v2，则在A1截面上，每一点的单位重力流体的平均动能都为
?1v122g，其中?1为动能修正系数。
考虑到穿过A1截面上的流线处处与A1垂直，因而在A1截面的方向上速度投影为零，也就是说，沿A1截面的方向流体是静止的，其上的每一点应该满足平衡流体的流体静力学基本方程
z?p?C ?g因此，截面上每一点的z?p都是相等的。故对A1截面有 ?g79
p?vz1?1?11?C
?g2g同理，对A2截面可得类似结论。综上所述，我们将(4-18)式扩为理想不可压缩流体总流伯努利方程
2p?v2z???C (4-19)
?g2g
或
p?vp?vz1?1?11?z2?2?22 (4-20)
?g2g?g2g
对真实流体，当流体在流动时，由于粘性的存在，由牛顿内摩擦定律可知，流体内部及流体与管壁之间必然存在着切应力，阻碍着流体的运动，做负功，消耗了一部分能量。因此，式(4-20)需要修正才能适合真实流体。设A1截面和A2截面之间消耗的能量以hf表示，修正后的公式是
22p?vp?vz1?1?11?z2?2?22?hf (4-21)
?g2g?g2g这就是真实不可压缩流体的总流伯努利方程（以后直接简称为流伯努利方程），它是流体力
学中极为重要的公式，在实际工程中有着广泛的应用。
4.3.3伯努利方程的应用
伯努利方程(4-21)与连续性方程（3－46）（有时也要与需要与流体静力学方程）联立，可以解决一元流动的断面流速和压强的计算问题。这在工程上有着重要的意义。应用伯努利方程应注意以下几点：
（1）要灵活运用伯努利方程。严格地讲，伯努利方程的是在定常流动、不可压缩和渐变流（质点流速变化缓慢）的条件下导出的，应用时也应满足这些条件。然而，无论是实际工程上的流动问题，还是自然界中的流动现象，都很少是严格满足这三个条件的。因此，为了能够实际应用伯努利方程，有必要将能量方程使用的条件适当放宽。例如，对于一些准定常问题、压缩性不明显的流体或某些急变流(质点流速变化很大)断面上，可以认为方程仍然是适用的。由此而产生的误差可以根据经验或试验数据数据加以修正，这样处理一般可以满足工程上的精度要求。
（2）方程的推导是在无能量输入或输出的情况下完成的，当所选取的列方程的两个断面间存在能量输入（例如中间有泵或风机）或输出（例如中间有马达或缸）时，只需要将输入的水头加在方程左端，或将输出的水头加在方程的右端即可。
（3）对合流或支流管路，方程仍然适用。例如，对图4－4的支流，仍然有方程
22p?vp?vz1?1?11?z2?2?22?hf12
?g2g?g2g和
22 80
p?vp?vz1?1?11?z3?3?33?hf13
?g2g?g2g成立。式中损耗hf12和hf13表示分别表示截面1到截面2的能量损失和截面1到截面3的能
量损失。伯努利方程在支流的情况下并没有改变形式，原因是伯努利方程表示的是单位重量的流体平均能量间的关系，而非截面之间的总能量的关系。同样，合流的情况也是如此。
22
图4－4 伯努利方程支流情况
（4）具体应用伯努利方程的步骤一般如下：
1. 分析流动现象：对照上述三条，确定问题是否可以应用伯努利方程。如果可以，再进
行下一步。 2. 选取截面：需要选取两个截面，这两个截面尽量包含已知条件和需要求解的未知变量。 3. 选取基准面和基准点：基准面是计算位置水头 z的参考面，基准点指压强水头p、位
置水头 z的取值点。理论上基准面和基准点的选取不影响计算结果，但恰当的选取将简化计算过程。一般的原则是：基准面尽量通过一个或二个基准点，而基准点尽量选在截面的形心上。
4. 列出方程，代入已知量求解。注意与连续性方程和静力学方程联解。 下面举例说明伯努利方程的应用。
[例题4－1] 皮托管(Pitot)是一种巧妙的流速测量装置。如图4－5，是用玻璃管弯成直角做成的皮托管测量明渠流速。玻璃管的开口正对着水流的流动方向，水流冲击使皮托管中水柱上升。水流速度不变时，水柱上升的高度也不变。设水柱至水面高h，皮托管浸入水中深度H，求所测流速v。
解：按照上述解题步骤。选两个过流截面，1截面在明渠上，紧靠皮托管入口处，2截面在皮托管内，也紧靠入口处，且基准点选在皮托管截面的形心上，两个截面基准点分别为1、2点，基准面通过基准点。列出伯努利方程如下
图4－5 皮托管明渠测速
81
p?vp?vz1?1?11?z2?2?22?hf
?g2g?g2g
式中：z1?z2?0,p1??gH,p2??g(H?h)，因为水流速度稳定时，管内液体静止，故
22v2?0，因1、2点很接近，有hf?0，对一般工程问题，我们可以取?2?1。将这些参数
代入，得：
v1?2gh (4-22)
这是皮托管的理论速度，由于在测量时引起液流扰乱，故要精确表示测量速度，还需要对（4
－22）加以修正
v1?cv2gh (4-23)
cv称为流速系数，一般可以取0.97～0.99。
从皮托管的伯努利方程容易得到下式
v1p?p11?2?[?g(H?h)??gH]?h (4-24) 2g?g?gv上式告诉我们：1表示的速度水头就是皮托管中的水位高h。因此，可以用皮托管来
2g显示速度水头。
用若干皮托管和测压管可以组成演示伯努利方程几何意义的实验仪器。如图4－6，测压管垂直于管道壁，因此，其水位高表示的是静水水头
22p（就是压强水头），速度水头则?g由皮托管显示。管道的中心线就是位置水头。沿管道方向不同点的位置水头、压强水头和速度水头都是变化的，但对理想流体来说，三者之和是常量，故总水头是一条水平线。对实际流体来说，则存在着水头损失hf，故总水头是逐渐下降的。
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图4－6 伯努利方程几何意义
如果用皮托管测量管道内的流体速度，则需要与测压管联合使用，如图4－6所示，测压管内需要灌装不溶于待测流体（密度ρ）的另一种液体（密度ρ’），当管道内流体速度稳定时，测压管内液柱高h也不变，可以列出压力平衡式如下
p2?(H?h)?g?p1?H?g?h?'g
由此得
p2?p1?(?'??)hg
与明渠测速类似，可以列出伯努利方程并解得
图4－7 皮托管测量管道内流体速度
v1?2gp2?p1(?'??)?'???2ghg?2hg (4-25) ?g?g?
[例题4－2] 文丘里流量计是利用节流口前后压强差来测定流量的。如图4－8，d1为管道截面1处的直径，d2为节流口处的直径。上端的测压管液位差为h，管内流体的密度为ρ，试求出文丘里流量计的流量公式。
图4－8文丘里流量计
解：取截面1、2，再任取水平基准面，得截面1、2处的位置水头分别为z1、z2，设流体为不可压缩的理想流体，且动能系数α取1，可列出伯努利方程
pvpvz1?1?1?z2?2?2
?g2g?g2g
83
22