连续性方程为
??? (vrr2sin?)?(v?rsin?)?(rv?)?0 （3－58）
?r????
3.4 流体微元的运动分析
由理论力学知，刚体的运动只有两种基本运动形式：平移和旋转运动。对于流体，由于没有一定的形状，且不能承受剪切力，其运动要比刚体复杂的多。可以想像，除了具有平移和旋转二种运动形式之外，流体在运动过程中还要发生变形运动。本小节通过分析流体微元的运动，导出亥姆霍兹速度分解定理，分析流体的运动形式。
3.4.1 亥姆霍兹速度分解定理
为推导亥姆霍兹速度分解定理，仍采用流体微元法。如图3－17，在t时刻，从流场中任取取一个流体的微元A。设点A的空间坐标为r = (x, y, z)，运动速度为
VA= V (x, y, z, t)＝vx(x, y, z, t)i+ vy(x, y, z, t)j+ vz(x, y, z, t)k 同一时刻，在A的邻近处再取微元B，B点的坐标点矢径为r + δr = (x+δx, y+δy, z+δz)，运动速度为 VB= VB (x, y, z, t)＝V (x+δx, y+δy, z+δz, t)
当绝对值 |δr| 很小时，VB 取VA的一阶增量，即取A点
图3－17 球坐标系 速度的多元函数泰勒级数一阶展开式
VB?VA?其中
?V?V?V?x??y??z?VA??V （3－59） ?x?y?z?V?或
?V?V?V?x??y??z （3－60） ?x?y?z?vx?v?v??x?x?y?x?z??x?y?z??vy?vy?vy??vy??x??y??z? （3－61）
?x?y?z??vz?vz?vz??vz??x??y??z??x?y?z??vx? 64
写成矩阵形式
??vx??x??vx??????vy??vy????x??v???z??v?z???x
?vx?y?vy?y?vz?y?vx??z???x???vy????y （3－62） ?z?????z???vz????z??
显然，δV表示的是在t时刻，点B相对于点A的相对运动速度。
根据矩阵运算法则,可以把上式中的九个偏导数组成的的方阵分解为一个对称方阵和一个反对称方阵
??vx??x???vy??x??v?z???x
?vx?y?vy?y?vz?y?vx???vx??z???x??vy??1?vy?vx?(?)?z??2?x?y?vz????1(?vz??vx)?z????2?x?z?0??1?vy?vx???(?)2?x?y??1(?vz??vx)??2?x?z1?vx?vy(?)2?y?x?vy?y1?vz?vy(?)2?y?z1?vx?vy(?)2?y?x01?vz?vy(?)2?y?z1?vx?vz?(?)?2?z?x?1?vy?vx?(?) 2?x?y???vz???z?1?vx?vz?(?)?2?z?x?1?vy?vx?(?) （3－63） 2?x?y???0??为使上式简明，定义以下一些符号和量，令
?xx??v?vx?v, ?yy?y,?zz?z, ?x?z?y1?vx?vy?(?), 2?y?x1?vx?vz?),
2?z?x?xy??yx?xz??zx?(1?vy?vx?yz??zy?(?),
2?x?y1?v?vy?x?(z?),
2?y?z
65
1?v?v?y?(x?z),
2?z?x1?vy?vx?z?(?)
2?x?y上述各式代入（3－63）和（3－62），得：
?vx??xx?x??xy?y??xz?z??y?z??z?y??vy??yx?x??yy?y??yz?z??z?x??x?z? (3-64) ?vz??zx?x??zy?y??zz?z??z?y??y?x??
写成矢量式：
?V?E??r?Ω??r (3-65) 代入(3-59)：
?VB?VA?E??r?Ω??r (3-66)
其中
Ω??xi??yj??zk (3-67)
??xx?E???yx??zx??xy?xz???yy?yz? (3-68) ?zy?zz??这就是流体力学中的亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理。关于定理的意义在下一节将进
行分析。
3.4.2 流体微元运动的四种形式 现在考察式(3-64)各项的意义。我们无需分析复杂的空间运动情况，而仅需分析一下平面流动就足以说明式(3-64)各项的意义。
图3－18 流体微元的平面运动
66
如图3－18，设流体ABCD只在xoy平面运动，若A点的速度为(vx,vy)，根据式（3－59），可得其他三点的速度并分别标在图上。
由于在t时刻A、B、C、D各点的速度不同，故经过Δt时刻后，ABCD矩形将变形为近似矩形A’B’C’D’。这个变形可以分解为四种单一运动的合成，即为平移、线变形、旋转和角变形运动的综合结果，这四种运动如图3－19所示。事实上，亥姆霍兹速度分解定理正是将流体的运动分解为这四种运动。
图3－19 流体微元的四种运动形式
因为vz?0,?z?0，故(3-64)可以简化为：
?vx??xx?x??xy?y??z?y???vy??yx?x??yy?y??z?x??? (3-69)
当A(x,y)点运动到A’ (x+δx, y+δy)点后，A’的速度可以表示为
vx'?vx??xx?x??xy?y??z?y??? (3-70)
vy'?vy??yx?x??yy?y??z?x??此式包含了(3-64)中所涉及的各种符号，所以完全可以分析亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定
理中各项的含义，下面分析其中包含的四种运动。
67
3.4.2.1 平移运动
当式（3－70）中
?xx??xy??z?0??? (3-71)
?yx??yy??z?0??
vx'?vx?则有 ? (3-72)
vy'?vy?上式表明，微元运动从A运动到C时，包含有平移运动。若流体对象ABCD做平移运动，则保持形状不变，如图3－19所示，ABCD做平移运动到A’B’C’D’。 vx、vy称为平移速度。
3.4.2.2线变形运动
若在流动中，只有x方向的速度vx以及
?vx?0，则在时间经过Δt后，运动的流体微?x元只有AB边在x方向发生了相对变化，如图3－20，其相对变化率就是线变形率，为
图3－20 线变形运动分析
A'B'?ABBB'?AA'??AB??tAB??t上式表明：?xx?(vx??vx?vx?x)?t?vx?t?x??t?v?x??x?x??xx (3-73)
?x??t?x??t?x?vy?vx表示的是运动流体沿x方向的线变形率。同理可知，?yy?表示?x?y?vz,表示的是运动流体沿z方向的线变形率。可?z的是运动流体沿y方向的线变形率，?zz?以推论，微元在空间的体膨胀率应为
??
?vx?vy?vz????xx??yy??zz (3-74) ?x?y?z68