写成分量式
?F ?F?Fxyz???qv(v2x?v1x)??qv(v2x?v1x)??????qv(v2y?v1y)??qv(v2y?v1y)? (4-37)
????qv(v2z?v1z)??qv(v2z?v1z)??式中，对一般的湍流情况，取动量修正系数β≈1。
为方便使用，必须对上式说明如下
（1）与式（4－35）相同，左端∑F是流体外接触壁作用在控制体上的所有外力的合力，如果要求外接触壁受到流体的作用力∑F’， 可以利用作用力与反作用力的关系求出，即∑F’= -∑F。
（2）关于力和速度的方向问题。当它们的方向与坐标方向一致时，取正；否则取负。式中的负号时固有的，与速度方向无关。 下面的例子应用了上述说明。
[例题4－4]水在直径为10cm地水平弯管中以5m/s地流速流动，如图所示，弯管前端地压强为0.1大气压，如不计水头损失，求水流对弯管地作用力。
解：在弯管上下游取界面1-1和2-2，并以此二截面及管壁为控制面。由于管路水平且截面积相等，根据伯努利方程，容易得到
p1?p2?9.807KPa
设弯管对水流作用力为R，则由动量方程，得
例4－4图 等径水平弯管俯视
Rx?p2A?p2Acos60???q(vcos60??v)??
Ry?p2Asin60???q(vcos60??0)?代入数据，得
??0.12?52(0.5?1)?44??
?3?3?Ry?9.807?0.12??1000??0.12?52?4242??Rx?9.807?(1?0.5)?1000?解得
??Rx??0.137kN??
Ry?0.237kN?作用力为R为
???? Ry0.237??arctg?arctg?60???Rx0.137?R?Rx?Ry?0.237kN22 89
水流对弯管的作用力 R’= －R
[例题4－5]自由射流的冲击力。从有压喷管或孔口射入大气的一股流束叫做自由射流。自由射流的特点是流束上的流体压强处处为大气压。自由射流的速度和射程可按伯努利方程计算，射流对挡板或叶片的冲击力则可按动量方程计算。
例4－5图自由射流的冲击力（俯视图）
如图4－5所示，假定速度为v、流量为qv的自由射流冲击到固定的二向曲面后，左右对称地分为两股，两股流量均为原流量之半。假定自由射流在同一水平面上，且到处均为大气压，按照伯努利方程可知，射流速度大小处处保持恒定，即都为v。假定取动量修正系数β≈1，如图虚线所示的控制体，按照动量方程（4－37）式，可得曲面作用在流体上的力为
?q?Fx???2vvcos??qvv???qvv(cos??1) (4-38)
?2?于是得射流对曲面得冲击力为
FRx??Fx??qvv(1?cos?) (4-39)
当??90?时，此时挡板为平面，冲击力为
FRx??qvv (4-40) 这种平面挡板在实际应用最常见。
当??180?时，即控制体的进、出速度相反，此时冲击力为
FRx?2?qvv (4-41) 这种反向曲面所受到的冲击力是平面挡板的两倍，获得冲击力最大，在冲击式水轮机上就是采用这种反向曲面作为其叶片形状的。不过为了回水方便，其反向角度并不是??180?，而是在160?～170?之间。
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第四章 小 结
1. 欧拉运动微分方程描述的是理想、不可压缩流体的速度（加速度）与受力关系，所以又称理想不可压缩流体运动微分方程。对理想流体，取长方体微元研究，在直角坐标下，沿x方向应用牛顿第二定律可得
dvx1?p ?fx?dt??x同理，可以分别得y、z方向的方程。欧拉运动微分方程是由瑞士著名科学家欧拉在1755年
提出的。
2.纳维－斯托克斯方程是考虑了流体的粘性，即针对真实流体而建立的运动微分方程。通过真实流体微元应力分析，应用广义牛顿粘性定律、牛顿第二定律推导得出。是由法国人纳维尔（Navier）和英国人斯托克斯（Stokes）先后独立提出，因此称为纳维－斯托克斯方程，简称N-S方程。与欧拉运动微分方程相比，N-S方程多了一项由粘性引起的因子，使方程变为二阶非线性偏微分方程组，求出其解析解的难度很大。N-S方程因求解难度大，不便于工程应用。
3.工程上应用最为广泛的是伯努利方程。又可分为理想不可压缩流体伯努利方程和总流上的伯努利方程。前者是在一条流线s导出的，为便于应用，必须扩为总流伯努利方程。
理想不可压缩流体总流伯努利方程没有考虑粘性影响。 对真实流体，当流体在流动时，由于粘性的存在，需要修正才能适合真实流体。所以在方程右端加hf表示由粘性引起的能量消耗。这样就得到了最为常用的真实流体总流伯努利方程
p?vp?vz1?1?11?z2?2?22?hf
?g2g?g2g4.熟练掌握伯努利方程的应用是本章学习内容的重中之重。要灵活运用伯努利方程。注
意当截面之间有能量输出（输入）、有合流或支流管路，方程仍然适用。学习时，对照本章例题，掌握具体应用伯努利方程的一般步骤。
5.伯努利方程适用于不可压缩液体，也适用流速不太大的气体。应用于气体时，习惯将方程式中的每一项表示成压强量纲的形式。这样使用更为方便。
6. 应用控制体法，将质点系的动量定理转化欧拉方法表示的动量方程式，适用于解决流体的受力问题。对于定常不可压缩的一元流动，可以导出简单的流体动量方程，求出流体所受的外力合力∑F。应用∑F’= -∑F求出外部物体（如容器壁）所受的流体作用力。
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22习 题
4－1潜水艇水平运动时，前舱皮托管汞U型管上读数为h =17cm，海水相对密度为1.026，皮托管流速系数Cv＝0.98，试求潜水艇航速v。
汞 Δhu
题4－1图 题4－2图
4－2 某一压力水管安有带水银比压计的皮托管，比压计水银面高差△h=2cm，求A点的流速u。
4－3 如 图 所 示， 水 流 过 长 直 圆 管 的 A、B 两 断 面， A 处 的 压 头 比 B 处 大 45m， 试 问：(1) 水 的 流 动 方 向？(2) 水 头 损 失 hf？ 设 流 体 不 可 压缩， 一 维 定 常 流，H=50m。（压 头 为 p / γ）。
4－4 水银压差计连接在水平放置的文丘里流量计上，如图。今测得其中水银高差h=80mm,已知D=10厘米，d=5厘米，文丘里流量计的流量系数Cq=0.98。问水通过流量计的实际流量为若干？
题4．3图 题4－4图
4－5 设用一附有水银压差计的文丘里管测定倾斜管内水流的流量。已知d1=0.10m，d2=0.05m，压差计读数h=0.04m，文丘里管流量系数Cq=0.98，试求流量qV。
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11d122d2h
汞
题4－6图 题4－5图
4－6 一 水 射 流 流 量 qv?60L/s， 以 速 度 v0?50m/s， 冲 击 一 固 定 叶 片， 射角 ? = 45 °， 试 求 水 作 用 于 叶 片 的 力。
4－7 消 防 队 员 将 水 龙 头 喷 嘴 转 至 某 一 角 度 ? 使 水 股 由 最 高 点 降 落 时 射 到 楼 墙 上 A 点， 该 点 高 出 地 平 面 H = 26 m， 喷 嘴 出 口 比 地 面 高 h = 1.5 m， 喷 嘴 出 口 流 速 v0 = 25 m / s， 忽 略 空 气 阻 力， 试 求 喷 嘴 出 口 距 边 墙 的 最 大 水 平 距 离 x （即 水 平 距 离 OC ）。
4－8 流 体 从 长 的 狭 缝 流 出， 冲 击 一 斜 放 的 光 滑 平 板， 如 图 所 示， 试 求 流 量 分 配 及 作 用 在 平 板 上 的 力 。（按 理 想 流 体 计），不 计 水 流 重 力， 已 知 v0 ，A0 ，? 。
题4－7图 题4－8图
4－9 如图所示,虹吸管将池中的水抽出。已知直径d1=10cm，管路末端喷嘴直径d2=5cm，a=3m，b=4.5m，管中充满水流并由喷嘴射入大气。忽略摩擦1、2、3、4点计示压强。
题4．9图
4－10 水流通过水平变截面直角弯管，已知进口dA=25cm，pA=180KPa，QA=0.12m3／s，出口dB=20cm，求水流对弯管壁的作用力。不计水头损失。
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4－11 流 量 qv?0.0015m/s 的 水 流 过 ??45 的 收 缩 弯 管（在 水 平
3
?面 内）， 弯 管 进 口 直 径 d1径 d2力？
?0.05m， 压 力 p1?4?104Nm2， 弯 管 出 口 直
?0.025m。 设 流 动 定 常， 无 摩 擦， 求 水 流 对 弯 管 壁 的 作 用
4－12 射流冲击一叶片如图所示，已知：d=10cm, v?v?21m/s,??1350,求当叶片固定不动时，叶片所受到的冲击力为多少？
题4．11图
12
题4．12图
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