当流体是不可压缩时，上式显然为0，即
??
3.4.2.3角变形运动
?vx?vy?vz????xx??yy??zz?0 (3-75) ?x?y?z 若在流动中只有x、y方向上的速度vx、vy且
?vy?vx?0，则在xoy平面上流体微元将?0、
?y?x发生如图3－21的角变形，在t时刻，A点处为直角，到t+Δt时刻，A点移动到A’点，角度变成了锐角，角减少量为?????，在Δt很小时，?? 和??也很小，因而有
图3－21 角变形与旋转运动
???tan(?)??vy?x?x?t/?x??vy?x??t???tan(?)??vx?v?y?t/?y?x??t ?y?y定义单位时间内在xoy平面上角度的平均减小量为运动流体在xoy平面上的角变形速率，即
剪切应变率：
11?vx?vylim(?????)/?t?(?)??xy??yx (3-76) ?t?022?y?x同理可得 ?xz??zx?1?vx?vz(?)表示流体在xoz平面上的剪切应变率，2?z?x?yz??zy?(1?vy?vz?)表示流体在yoz平面上的剪切应变率。
2?z?y这就是说，式(3-68)的E中，对角线上以外的其他6个分量分别表示了在各坐标平面上
的剪切应变率。
3.4.2.4旋转运动分析
?vy?vx?0，流体微元除发生上述?0、当流动中只有x、y方向上的速度vx、vy且
?y?x的角变形外，还将发生旋转运动。参见图3－21，在t时刻的对角线AC，到t+Δt时刻旋转
到了A’C’位置。
????????45?，以逆时针方向为正，则流体微元在Δt时间的转角为：由于?x??y，
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A’B’C’D’近似为菱形，则有 2????????90?，从而有
???(?????)/2?(定义转动角速度分量?z为
?vy?x??vx)?t/2 ?y1?vy?vx?z?lim??/?t?(?)
?t?02?x?y可知角速度分量?z表示了流体微元以为瞬心，绕平行于z轴旋转的平均角速度。 （x,y,z）同理，角速度分量?y表示了流体微元以为瞬心，绕平行于y轴旋转的平均角速度, （x,y,z）为瞬心，绕平行于x轴旋转的平均角速度。当流场中处处有 （x,y,z）?x表示了流体微元以
?x??y??z?0 (3-77)
时，我们称这样的流场处处无旋，相应的流动为无旋流动，反之，称为有旋流动。
综上所述可知，流体微元上任一点的运动可以表示为平移、线变形、角变形和旋转四种运动的叠加。亥姆霍兹定理的主要贡献正是在于找出了这几种运动的数学表达式，而且物理清晰明确。
第三章 小 结
1.描述流体运动有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。述二种方法的着眼点尽管不同，实质上它们是等价的。但是，欧拉方法更适合于描述流体运动。
2.流体动力学中经常使用的几个概念：定常场与非定常场、均匀场与非均匀场、质点导数、迹线与流线、流管与流束、过流断面、流量、净通量、平均速度、动能修正系数、动量修正系数、三元流、二元流和一元流。
3. 积分形式的连续性方程就是质量守恒定律在运动流体中的数学表示。定常场、不可压缩的一元流动连续性方程v1A1?v2A2在工程实际中被直接使用。
4. 微分形式的连续性方程可以用二种方法导出：微元控制体分析法和有限控制体分析法。
5.圆柱坐标系和球坐标系中的连续性方程有时在工程实际中也能被用到。
6.亥姆霍兹速度分解定理将复杂的流体运动分解为四种运动：即平移、线变形、旋转和角变形运动，给出了这几种运动的数学表达式，而且物理意义清晰明确。
思考与练习
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3-1 什么是描述流体运动的拉格朗日方法和欧拉方法？ 3-2 为什么说拉格朗日方法和欧拉方法是等价的？ 3-3 什么是定常场？什么是均匀场？
3-4 质点导数的当地导数和迁移导数各有什么物理意义？ 3-5 迹线与流线有何区别与联系？迹线有哪些性质？ 3-6 如果控制面不是过流截面，怎样计算流量？ 3-7 流量与净通量有何区别与联系？
3-8 什么是平均速度？管道内是否存在着以平均速度流动的流体质点？ 3-9 为什么需要动能修正系数和动量修正系数？
3-10既是定常场又是均匀场的一元流动连续性方程如何表示？ 3-11亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理的物理意义是什么？ 3-12流体运动可以分解为哪四种运动？ 3-13什么是有旋运动？什么是无旋运动
3-14 已知流体的速度分布为ux?1?y；uy?t，求t=1时过（0,0）点的流线及t=0时位于（0,0）点的质点轨迹。
3-15 给出流速场为u?(6?x2y?t2)i?(xy2?10t)j?25k，求空间点（3,0,2）在t=1时的加速度。
3-16 已知流场的速度为ux?2kx，uy?2ky，uz??4kz，式中k为常数。试求通过（1，0，1）点的流线方程。
3-17已知流场的速度为ux?1?At，uy?2x，试确定t=to时通过（xo,yo）点的流线方程。A为常数。
3-18 试证明下列不可压缩流体运动中，哪些满足连续方程，哪些不满足连续方程？
（1）ux??ky，uy?kx，uz?0。 （2）ux?????x?y，，uz?0。 u?yx2?y2x2?y2（3）ur?k/r（k是不为零的常数），u??0。 （4）ur?0，u??k/r（k是不为零的常数）。
223-19 已知ux?x2y?y2，uy?x?yx，试求此流场中在x?1，y?2点处的线变
率、角变率和角转速。
3-20 三元不可压缩流场中，已知
ux?x2?y2z3uy??(xy?yz?zx)
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且已知z=0，处 uz?0，试求流场中的uz的表达式。
3-21已知圆管过流断面上的速度分布为u?umax[1?(r2)]，umax为管轴处最大流速，r0r0为圆管半径，r为某点距管轴的径距。试求断面平均速度u。
CABD
题3.22图
3-22 管路AB在B点分为两支，已知dA=45cm，dB=30cm，dC=20cm，dD=15cm，
vA=2m/s，vC=4m/s，试求vB，vD。
3-23送风管的断面面积为50cm×50cm，求通过a,b,c,d四个送风口向室内输送空气。已知送风口断面面积为40cm×40cm，气体平均速度为5m/s，试求通过送风管过流断面1-1、2-2、3-3的流速和流量。
123Q0a1b2c3dQQQQ
题3.23图
3-24 平行平板间AA断面上的速度分布为
102y2v?(y?)
aaa为断面高度，垂直于纸面宽度为1单位。试求断面上的平均速度。
题3.24图
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4 流体动力学基础
一、学习目的和任务
1.掌握欧拉运动微分方程的推导及应用范围。 2.理解纳维－斯托克斯方程及应用范围。
3.了解理想流体元流的伯努利方程和总流上的伯努利方程的推导过程，学会解题步骤，熟练掌握其在工程实际中的应用。 4.掌握气体总流伯努利方程的应用。
5.理解动量方程的推导过程，掌握动量方程在工程实际中的应用。
二、重点、难点
1.重点
伯努利方程及其应用，动量方程及其应用。 2.难点
纳维－斯托克斯方程、伯努利方程的应用、动量方程的应用。
流体动力学是研究流体的机械运动规律，其理论基础除了能量守恒定律、质量守恒定律和动量守恒定律等基本定律外，还有牛顿的经典力学定律。流体流动的本质原因是受到了内部或流体容器壁的作用力。流体在静止和流动时的力学特点有很大的区别。静止时流体内部不受切向力，流体的粘性也不能表现出来。而当流体流动时，情况则变得很复杂。流体的受力既可以是正压力，也可以是切向力，流体内部的内摩擦力也不能忽视。而且，流体没有一定的形状，运动的形式非常复杂，在大多数情况只能近似描述。
本章将从流体动力学最基本的概念介绍开始，重点学习流体动力学基础中最重要的几个定理和公式：欧拉运动微分方程、纳维－斯托克斯方程、伯努利方程和动量定理，并给出这些定理和公式在工程上的一些应用实例。
4.1 欧拉运动微分方程
欧拉运动微分方程描述的是理想、不可压缩流体的速度（加速度）与受力关系，所以又称理想不可压缩流体运动微分方程。
自然界中存在的所有真实流体都具有粘性，但是流体力学的发展过程表明，如果任何情形下都考虑流体的粘性，那么，绝大多数的流体力学问题会因数学上的复杂性而难于求解，甚至无法求解。大量的理论分析和实验结果表明，一些流动情形下，忽略流体粘性的影响在工程上是可以接受的，这样使问题容易求解。
对理想流体，由于没有粘性的影响，所以流体只能承受法向应力。如图4－1，取长方体微元研究，在直角坐标下，微元的x、y、z三向长度分
（x,y,z）别为dx、dy、dz，中心点M处的速度、
压强和单位质量力分别为v、p、f，流体的密度为?，则沿x方向应用牛顿第二定律可得
图4－1 长方体微元x向受力分析
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