参见图3－4，设流线上某质点A的瞬时速度为
v? vxi?vyj?vzk （3－21）
流线上微小线段长度的矢量为
ds? dxi?dyj?dzk （3－22）
根据流线定义，速度矢量v与流线矢量ds方向一致，矢量的×积为零，于是有
v?ds? 0 （3－23）
写成投影形式，得
dxdydzv??v xvyz
这就是最常用的流线微分方程式。 [例题3－1] 已知流场中质点的速度为
vx?kx?v??ky?y?
(y?0)
vz?0??试求流场中质点的加速度及流线方程。
解： 从vz?0和(y?0)知，流体运动只限于Oxy平面的上半部分，质点速度为
v?v2x?v2y?kx2?y2?kr
由（3－20）可以得质点加速度为
advx?x?vxdt?vx?x?k2x advy?vyy?dt?vy?y?k2y
az?0 a?a2x?a2y?k2x2?y2?k2r
从流线方程
dxkx?dy?ky 消去k，积分得
lnx??lny?lnC
即 xy?C
3－24） 54
（
图3－5双曲线型流线
作流线方程xy?C的曲线如图3－5所示，是一族双曲线，质点离原点越近，即r越小，其加速度与加速度均越小，在r＝0点处，速度与加速度均为零。流体力学上称速度为零的点为驻点（或滞止点），如图中O点即是。
在r→∞的无穷远处，质点速度与加速度均趋于无穷。流体力学上称速度趋于无穷的点为奇点。
驻点和奇点是流场中的两种极端情况，一般流场中不一定存在。
3.2.4.3 流线的性质
流线具有以下性质：
（1） 定常流动中流线形状不随时间变化，而且流体质点的迹线与流线重合。
定常流动时，质点经过空间各点的速度不随时间变化，因而形成的流线簇图景必然固定不变。现在解释迹线与流线重合的理由：见图3－3，如果有一质点在初始时刻的位置处于1点，因流线的切线方向是其运动的方向，在经过△t时间后，这个质点必然运动到相邻点2点。依次类推，质点必然沿流线运动，也就是说，迹线和流线场合。但是在非定常流动的情况下，流线的形状随时间而改变，迹线也没有固定的形状，两者不会重合。
（2） 在实际流场中，除了驻点和奇点以外，流线既不能相交，也不能突然转折。
如图3－6，若某时刻流场中存在两条相交流线l1和l2，则流经交点A处的质点此时刻有两种速度，一是l1的切线方向，另一是l2的切线方向，但是在牛顿力学中，在某一时刻，一个质点只可能以一种速度运动，故流线不可能相交。若流线在B点突然转折，因B点不存在切线，故流经B点的质点速度方向可以是任意方向，这显然也是不可能的。
图3－6流线不能相交或转折 图3－7飞行的子弹
如果流场中存在着奇点或驻点，则流线可以相交，这是一种例外。如图3－7，子弹在大气中飞行，在前缘尖处A，空气被子弹推动一起运动，形成驻点，此处流线相交。可解释为，驻点处的空气不可能被无限推动下去（这将导致空气被无限压缩），在某个时刻将发生流动，但向上还是向下（仅从平面上看），由偶然因素确定，这样就形成了相交的二条流线。在子弹的尾部，流线不能转折，因此形成涡流，涡流旋转的能量消耗了子弹运行的部分能量，即增大了子弹运行的阻力。为了减少流体对运动物体的阻力，需要把物体表面做成所谓的“流线型”，使其表面曲线符合流线的性质。
图3－8流管与流束
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3.2.5 流管与流束
在流场中任意取出一个有流线从中通过的封闭曲线，如图3－8中的l，l上的所有流线围成一个封闭管状曲面，称为流管。流管内所包含的所有流体称为流束。当流管的横断面积无穷小时，所包含的流束称为元流，最小的元流就退化为一条流线。如果封闭曲线取在管道内壁周线上，则流束就是管道内部的全部流体，这种情况称为总流。 3.2.5过流断面、流量和净通量 3.2.5.1 过流截面
流管内与流线处处垂直的截面称为过流截面（或过流断面），过流截面可以是平面或曲面，如图3－9所示。 3.2.5.2 流量
单位时间内流过某过流截面的流体体积称为体积流量，也简单称为流量，如果流过的流体按质量计量，则称为质量流量。
图3－9过流截面
图3－10流量与净通量
选择用来计算流量的截面称为控制面。当控制面为过流截面时（不论是平面还是曲面），由于速度方向与面积垂直，所以流量的计算式如下： 在微元面积dA 上质点速度大小为v，则dA上流量为
dqv?vdA （3－25）
在当控制面是平面时
qv?vdA （3－26）
A?在当控制面是曲面时
qv???vdA （3－27）
A如果控制面不是过流截面时，需要将面积向过流截面上投影再计算流量。见图3－10，设面积矢量的法矢与质点速度方向的夹角为θ，则有dA上流量为
dqv?vdAcos??v?dA?v?ndA （3－28）
在当控制面是平面时
qv?v?dA＝v?ndA （3－29）
AA??在当控制面是曲面时
56
qv? ??v?dA???v?ndA （3－30）
AA
3.2.5.3 净通量
如果控制面取为封闭曲面，如图3－10所示，这时整个控制面上，有的面积是流体流入，同时，也有面积是流出。矢量的法矢与质点速度方向的夹角为θ，则dA上流量dqv可用式（3－28）表示。可见，当流出时，dqv ≥0，流入时，dqv <0，整个封闭控制面上的流量
qv???vdAcos(v,n)???v?dA???v?ndA （3－31）
AAA则qv称为封闭曲面上的体积净通量（简称净通量或净流量）。同理，质量净通量为
qm????v?ndA （3－32）
A净通量qv反映了微面积上流出、流入流量的代数和，若qv >0，表示流出大于流入，控制体内流体减少；qv <0，表示流出小于流入，控制体内流体增加；而qv ＝0，表示流出等于流入，控制体内流体质量不变。
3.2.6平均速度
流体在流场中流动，一般情况下空间各点的速度都不相同，而且速度分布规律函数 v =v(x, y, z)有时难以确定，即使在简单的等径管道中（见图3－11），由于粘性、摩擦、质点碰撞混杂等原因，速度分布规律也是不容易确定的。在工程实际中，有时也没有必要弄清楚精确的速度分布。为简化计算，可以用平均速度代替各点的瞬时速度。若通流截面的面积为A，流量为qv，则定义平均速度为
v?qv （3－33） A式中qv值可以通过测量获得。
如图3－11，从几何上看，以平均速度v为基准线，质点速度v超过v（v?v??v）的阴影面积和低于v（v?v??v）的白色面积应该正好相抵。原因如下：
因qv?vdA?(v??v)dA?vA??vdA
AAA???考虑到（3－32）,所以有
??vdA?0 （3－34）
A
因为一般情况下不会出现所有质点速度全都相同，故总有△v2>0，所以
图3－11平均速度
??vdA?0 （3－35）
A2利用分部积分和式（3－34），有
??3222 ?vdA?(?v)(?vdA)??v?vdA??vdAd(?v)?0 （3－36）???????AAA?A?
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式（3－34）、（3－35）和（3－36）在下面的动能修正系数和动量修正系数一节中将要用到。
3.2.7动能修正系数和动量修正系数 3.2.7.1 动能修正系数
单位时间内，若dA上通过的质点动能为
13?vdA,则通过通流截面A的流体质点总动能E 211?E???v3dA???(v??v)3dA??(v3?3v2?v?3v?v2??v3)dA
222AAA????3?32? v3A?1??vdA??vA （3－37）2???22?vAA?32?vdA?1，是用平均速度代替瞬时质点速度计算动能时所乘的一个系2?vAA式中，??1?数，称为动能修正系数。
3.2.7.2 动量修正系数
单位时间内，若dA上通过的质点动量为?v2dA,则通过通流截面A的流体质点总动M
??12? M???v2dA???(v??v)2dA???(v2?2v?v?v2)dA??v2A?1??vdA?v2A??AAAA?????v2A （3－38）
式中，??1?12?vdA?1，是用平均速度代替瞬时质点速度计算动量时所乘的一个2?vAA系数，称为动量修正系数。
动能修正系数?和动量修正系数?在后面章节中的伯努利方程和动量方程将要用到。具体取值与流态（流态的概念见第五章管中流动）有关：管中层流时取??2，??流时取??1.06?1，??1.02?1。
3.2.8三元流、二元流和一元流
除时间t外，如果流场中的流动参数依赖与空间的三个坐标，则称这样的流动为三元流动。流动参数依赖与空间的二个坐标，称为二元流动。流动参数依赖与空间的一个坐标（可以是曲线坐标），称为一元流动。
比较而言，一元流动的情形最为简单。因此，工程实际中，常常将流动问题简化为一元流动来解决。
4；管中湍33.3 流体运动的连续性方程
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