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谐波成分；但是 Q(z) ? 0.95 ，系统采用的重复控制器是一个准无静差跟踪系统，因此
跟踪误差信号中含有一定的基波成分。
FFT window: 20 of 150 cycles of selected signal
0.1 0
Error
-0.1 2.5
2.55
2.6
2.65
2.7 Time (s)
2.75
2.8
2.85
35 30 25 20 15 10 5 0
Mag (% of Fundamental)
Fundamental (50Hz) = 0.1008 , THD= 2.74%
0
1
2
3
4 5 Harmonic order
6
7
8
9
10
图 3. 11 跟踪误差的频谱分析
31
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4 单相 PWM 整流器反馈线性化控制器设计
在工业应用中，非线性系统是随处可见的，如机器人控制系统、二级倒立摆系统、 飞机驾驶系统，电力系统等等，严格的讲，所有的系统都是非线性的，线性系统是为 了分析的方便而简化的理想模型，非线性系统分析的难点在于它不能采用叠加原理进 行分析，常用的非线性系统的分析方法有等效线性化法、双线性系统理论、直接分析 法等。电力系统中常用的小信号法就是一种等效线性化法，它将非线性系统在稳态工 作点附近线性化，将非线性系统转化成线性系统，然后用线性系统控制器的设计方法 给等效的线性系统设计控制器，大大简化了控制系统的设计，但是，当系统状态偏离 稳态工作点时，控制器的控制效果将会变差，甚至引起系统不稳定。
随着控制理论的发展，以微分几何理论为基础的非线性控制技术在非线性系统研 究中得到了广泛的应用，反馈线性化技术在工程应用中得到了越来越多的关注，微分 几何理论指出，当非线性系统满足一定的条件时，通过一定的非线性变换可以将一个 非线性系统进行部分线性化或全部线性化，然后可以应用线性系统理论对线性化的系 统进行分析和综合
[43]-[46]
。使用这种线性化方法不存在工作点改变时系统性能变差的
问题，文献[47]和[48]讨论了微分几何理论在三相电压型 PWM 整流器中的应用，取得 了很好的控制效果。
本章主要讨论单相 PWM 整流器的非线性控制方法，通过输入/输出反馈线性化，
实现了有功电流和无功电流的解耦控制，并且设计了直流电压控制器，实现了直流电 压的稳定控制。
4.1 微分几何理论简介
微分几何理论内容非常丰富，这里只做一个简单介绍，更多内容更可以参考文献
[43][44][45]。
4.1.1 基本概念
1．向量场
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x ? ?x1 x2 xn ?是 n 维列向量， f ( x) 是 n 维列向量，其中每一个元素 fi (x) 都
是 n 维列向量 x 的函数，即
? f1 (x) ??
??
??f (x)
??
??
2 f (x) ?
??
??
??
??
(4.1)
?
f
n f ( x) 称 n 维空间向量场。
(x)??
2. 李导数
nnnn
x ? R ， f (x) : R ? R ，是 n 维连续光滑函数，h(x) : R ? R ，是连续光滑标量
函数。 h( x) 关于 f ( x) 的李导数定义为：
?h f (4.2)
?x
h( x) 关于 f ( x) 的李导数实际上是标量函数 h( x) 沿 n 维向量 f ( x) 的方向导数。多
L f h ??
重李导数定义为：
??
0
(4.3)
3. 李括号
Lf h ? h i?1??
?(Lfh) ??
i
i ? 1 f ?Lf h ??
?? ?x
(4.4)
f ( x) 和 g (x) 为向量场， g (x) 对于 f ( x) 的李括号定义为：
多重李括号定义为：
?g ?f
[ f g] ? ad f g ??f ??g
?x ?x
??
??
ad g ? g
0
??
?ad f g ??
i
i?1?(ad f g) f
??
?x
f
i ? 1
(4.5)
4. 向量场集合的对合性
向量场的集合 ??? ?g (x) g (x)g
1 2
(x)?，其中 x ? R n ，g (x) (i ? 0
k
i
k)
是 n 维空间向量场，如果存在 D ? R ， ?x ? D ， ?i 立，那么向量场集合 ??? ?g1 (x) g2 (x)
n?j ，1 ? i ? j ? k ，（4.6）式成
gk (x)?在 D 上是对合的。
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rank(?g1 (x) g2 (x)gk (x)?)
? rank(g1 (x) gk (x) [gi (x)
?
g j (x)]) ?(4.6)
5. 单输入单输出仿射非线性系统
单输入单输出仿射非线性系统的一般形式如式（4.7）所示
? f (x) ? g(x)u
?x
??
??
y ? h(x)
(4.7)
其 中 x ? R n 是 系 统的状 态 变量 ， f (x) : R ? R 为 充分光 滑 向量 场 ，
nn
g(x) : Rn ? Rn 为充分光滑向量场，u ? R1 为系统控制变量，h(x) : Rn ? R 是连续光滑
标量函数。仿射非线性系统的特点是：它对状态变量是非线性的，对控制变量是线性 的。 6. 相对阶
对于（4.7）所示的单输入单输出仿射非线性系统，其在 x ? x0 的邻域内具有相对 阶 ? 的充分必要条件是系统在 x ? x0 的邻域内满足式（4.8）的两个条件。
?L g Lh(x) ? 0 (k ? 1????2)
??
k f
??
??
LL
? ?1 ??
7. 多输入多输出（MIMO）仿射非线性系统
g f
h(x0 ) ? 0
(4.8)
多输入多数出仿射非线性系统的形式如下：
?? m x ? F (x) ? ?gi (x)ui ???i ?1
????
????
m
y1 ? h1 (x) (4.9)
??
y ? h (x)
m 也可以写成如下形式：
?
?x ? F (x) ? G(x)U
Y ? H (x)
??
其中， x ? R n 是系统的状态变量， U ? ?u
1
(4.10)
u 2
u
m
?T 是系统的控制变量，
Y ? ?y y
1
2
y
m
?T 是系统的输出变量， F(x) : Rn ? Rn 为充分光滑向量场，
G ? ?g1 (x) g2 (x) gm (x)?， gi (x)
(i ?1 (i ?1
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m) 是充分光滑 m 维空间向量场， m) ，是充分光滑标量函数。
H ? ?h1 (x) h2 (x) hm (x)?， hi (x)
8. MIMO 仿射非线性系统相对阶矢量
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对于式（ 4.10 ） 所示的多输入多输出仿射非线性系统， 其每一个输出
yi ? hi (x) (i ? 0 m) 有一个相应的相对阶 ? i ，如果系统满足以下条件，那么
??????1??????2 ? m ?就是系统的相对阶矢量。
ki
对于 ki ? (? i ?1) 有：
L L h (x) ? 0 j ? 1
g j f i
且 m ? m 维解耦矩阵 B(x) 是非奇异的。
m i ? 1 m L L?1 ?1h (x) ??
L L h (x)
g m
(4.11)
? L L?1 ?1h (x)
g
f
1
LL h (x) ??11f1
g
??
??
??
??
g
B(x) ???1
??L 1 L? 2 ?1h (x)
??
?
f 2
L 2 L??1h(x)
2
?2?1
g m f 1 2
g 2
f2 f
(4.12)
??L
1 ??
g
Lf
?m ?1
hm (x)
L
g
2 Lf hm (x) Lg
?m?1
?m?1
m
Lf hm (x)??
??
4.1.2 单输入单输出系统输入/输出反馈线性化
???1
式（4.7）所示的单输入单输出仿射非线性系统，? 是其相对阶，则式（4.8）成立，
对输出 y 进行 ? 次导数运算得到式（4.13）。
y ? Lf h ? uLg Lf h
令? ? Lf h ? uLg Lf h ，则可以得到：
?? ? ? Lf h ?u ??
(?)???1
(4.13)
??? Lg Lf h ??
??1(4.14)
??y
(? )
????[49][50]
从式（4.14）可以看到系统输入和系统输出满足线性关系，可以使用线性系统理
来确定控制系统输
论对该系统进行分析和综合。 可以使用有界跟踪原理
入? ，从而确定控制输入 u 。
假设 yref 为系统参考输出， e ? yref ? y 为系统跟踪误差，取? 为：
? ? y ? k
r e f
(?)
? ?1
e(? ?1) ???? k e
0
(4.15)
将式（4.15）带入到式（4.14）可以得到系统的跟踪误差动态方程：
e(? ) ? k ? ?1 e(? ?1) ???? k e ? 0
0
(4.16)
通过配置系统（4.16）的极点位置，就可以决定跟踪误差的收敛速度。为了减小
35
跟踪误差，在式（4.15）中添加跟踪误差的积分项，即：