专题讲座2一维问题
一、自由粒子问题
自由粒子（处处V(x)?0）。 在经典理论中它意味着等速运动，但是在
量子力学中这个问题相当微妙。定态薛定谔方程为: ?2?2d?222mdx?E?,
或者
d?dx2??k?, 其中 k?ikx22mE?
因此自由粒子的能量本征函数为
?(x)?Ae
（很容易看出自由粒子的能量本征函数也是动量算符的本征函数，?k?p）
能量本征值为
E?k?2m22
对自由粒子没有边界条件去限制k的取值（E的取值）；???k??，是连续谱。加上标准的时间因子，exp(?iEt/?)，自由粒子的定态解可以写作
?k(x,t)?Aei(kx??k22mt),
显然，自由粒子的“定态”是传播着的波； k??它们的波长是?动量
?2?/k2mE??k?0?向右传播，, ?
k?0?向左传播.?
，按照德布罗意公式（1.39式）它们具有
p??k.
我们的问题是这样的定态能否表示自由粒子真实的物理态呢？
这些波的速度(t前面的系数除以x前面的系数)是
2m另一方面，一个具有能量E?(1/2)mv（纯动能，既然势能V典自由粒子的速度是
2 v量子??k2m?E.
?0）的经
v经典?2Em?2v量子.
表面看来量子力学波的传播速度只有它所代表的粒子经典速度的一半！我们马上会回到这个佯谬?这里还有一个更严重的问题需要我们首先面对：这个波函数是不可归一化的。因为
??????kdx?A*k2????dx?A(?).
2对自由粒子来讲，分离变量解并不代表物理上可实现的态。一个自由粒子不能存在于一个定态；或者，换句话说，不存在一个自由粒子具有确定能量（确定动量）这样的事情。
但是这个并不意味着分离变量解对我们没有用途，因为它们的数学地位是完全不依赖于它们的物理解释的。含时薛定鄂方程的一般解仍旧是分离变量解的线性迭加（此时对连续变量k的一个积分取代了对分立指标n的求和）：
?(x,t)?12??????(k)ei(kx??k22mt)dk.
(引入因子1/2?是为了方便)现在这个波函数是可以归一化的（对适当的?(k)）。但是必须是对k的一个范围，因此能量和速度也有一个范围。我们称这样的波为波包。
在一般的量子力学问题中，是给出?(x,0)，求?(x,t)。对自由粒子的解，仅有的问题是如何确定匹配初始波函数的?(k)：
?(x,0)?由傅立叶变换
12?????(k)edk.
?(x,0)e?ikx?ikx?(k)?12?????dx.
例题1 一个自由粒子初始时刻是局域在区间?a?x?a，然后在t?0释放：
?A, 若 ?a?x?a, ?(x,0)??
0， 其余地方,?式中A和a是正的实数。求?(x,t)。
解：首先我们需要归一化?(x,0)：
1?????2?(x,0)dx?A2?a?adx?2aA ? A?212a.
其次计算?(k)：
?(k)?12?112a?a?ae?ikxdx?1e?ikxa2?a?ik1?a
?eika?e?ika? ????2ik?a??1sin(ka)ki(kx??k2sin(ka)k
.?a最后把?(k)代回2.100式中： ?(x,t)??2a????e2mt)dk.
探讨极限情况很有启发。如果a非常小，初始波函数为很窄的针
状。在这种情况下，有sin(ka)?ka，因此有
?(k)?a?;
这是不确定原理的一个例子：如果坐标的弥散很小，动量的弥散（因此k的）必须很大。在另一种极限下（a很大），坐标的弥散很大，而 ?(k)?asin(ka)?ka现在，sinz/z的最大值在z?0，并当z???时为零（这对应k???/a）。所以对较大的a，?(k)是以k?0为中心的一个窄峰。此种情况下，有一个较确定的动量，但是坐标不再很好确定。
.
现在我们回到前面提到的佯谬：表示一个粒子的分离变量解
严格来讲，这样的问题是不存在的，?k(x,t)以一个”错误”的速度传播。
因为我们发现?k不代表一个物理上可实现的态。不过，发现自由粒子的波函数
?(x,t)?12??????(k)ei(kx??k22mt)dk.
包含有速度的什么信息是令人感兴趣的。基本的思想是：一个波包是正弦函数的迭加，其振幅由?(k)调制；
在一个“包络线”内含有“波纹”。对应粒子速度的不是一个个别波纹的速度（所谓的相速度），而是包络线的速度（群速度）?这个速度，取决于波包的本质，可以比组成波包的波纹的速度大或小。对一个弦波，群速度等于相速度。对水波，当你向水塘扔进一块石头，也许曾注意到，群速度是相速度的一半（如果你注意一个个别波纹，你会发现它在后部生成，向前运动越过群体，在前面衰减，而群体则以个别波纹的一半速度传播）。
我们现在要证明的是在量子力学中自由粒子波函数的群速度是相速度的两倍?正好代表经典粒子的速度。
现在的问题是确定一般形式波包
?(x,t)?12??????(k)ei(kx??t)dk
的群速度。（对我们的情况??(?k2/2m)，但是现在讲的对所有种类的波包都适用，无论它的色散关系??对k的依赖关系?如何。）让我们假定?(k)是在某个k0处的一个狭窄分布。（一个宽的分布也是允许的，但是这样的波包波形变化很快?因为不同的组分有不同的速度?所以具有一个很好定义的速度的“群” 的整体概念就会失去意义。）既然除了k0附近外积分可以被忽略，我们可以在这一点对?(k)做泰勒展开，并仅保留到一次项：
?(k)??0??0(k?k0),
式中?是?对k的导数在k0的值。
做变量变换从k到s?k?k0（使积分区间的中心在k0），我们有
?'1i[(k0?s)x?(?0??0s)t)?(x,t)??(k0?s)eds. ?2???在t?0时，
'0' ?(x,0)?在以后时刻
12??'????(k0?s)ei(k0?s)xds,
?(x,t)?除了x变换到(x??'012?t)ei(??0t?k0?0t)?????(k0?s)ei[(k0?s)(x??0t)'ds.
外，这个积分同?(x,0)的积分是一样的。所以
i(??0?k0?0)t'?(x??0t,0). ?(x,t)?e除了前面的一个相因子(它在任何方面都不影响?)外，这个波包显
2'然以速度?0运动：
'