v群?d?dk
（在k?k0取值）。这和普通的相速度
v相??k
是不一样的。在我们情况中，??(?k2/2m)，所以?/k?(?k/2m)，而
正好是相速度的2倍。这证实了与经典粒子速度相匹d?/dk?(?k/m)，
配的是波包的群速度而不是定态的相速度：
v经典?v群?2v相.
二、束缚态和散射态
我们已经遇到定态薛定谔方程的两类非常不同的解：对无限深方势阱和谐振子它们是可归一化的，解由分立的指标n标记；对自由粒子它们是不可归一化的，解用一个连续的变量k标记。前者本身就代表物理上可实现的态，而后者不是；但是在两种情况下含时薛定谔方程的一般解都是定态解的线性迭加——对第一类这种情况迭加是采取求和的形式（对n），而对第二类这种迭加则是一个积分（对k）。这种区别的物理意义是什么？
在经典力学中一个一维不含时的势场可以给出两种很不相同的运动情况。如果V(x)的两边都比粒子的总能（E）高（图2.12(a)），则粒子的运动被限制在势阱内?它在两个拐点之间运动，但是它不能逃逸掉（除非，当然，你给它提供额外的能量源，比如一个马达，但是我们不讨论这种情况）。我们称这种情况为束缚态。
在另一方面，如果E在一边（或两边）超过V(x)，则从“无限远”过来的粒子在势的影响下减速或加速，然后折回无限远处（图2.12(b)）。（它不能被囚禁在势场中，除非存在某种机制，比如说摩擦，引起能量的耗散，但是同样，我们也不
讨论这样的情况。）我们称这种情况为散射态。某些势场仅允许束缚态（例如，谐振子）；某些势场仅允许散射态（例如，一个逐渐升高而没有低谷的势场）；依据粒子的能量，还有一些势两者都允许。
薛定谔方程的两类解恰好对应束缚态和散射态。这种区分在量子的范畴甚至更清晰，因为隧道效应允许粒子“渗透”穿过任何有限的势垒，所以最关键的是无限远处的势（图2.12（c））：
?E?[V(??) 和 V(?)] ? 束缚态， ?E?[V(??) 或 V(?)] ? 散射态.
?在“真实世界”大多数势场在无限远处趋于零（比如氢原子），在这种情况下上面的判据变得更为简化：
?E?0 ? 束缚态，? E?0 ? 散射态.?
由于无限深方势阱和谐振子势在x???趋于无限大，它们仅
允许束缚态；由于自由粒子的势是处处为零，它仅允许散射态。
（图中Classical turning points 经典拐点）
图2.12：（a）束缚态。（b）散射态。（c）一个经典的束缚态，但是是量子的散射态。
三、 ?-函数势阱
狄拉克(Dirak)?函数是原点处一个无限高，无限窄的峰尖，其面积是1：
??0, 如果 x?0? ?(x)???, 如果 x?0?, 且 ?-??(x)dx?1.
??
技术上讲，它根本就不是一个函数，因为它在x?0不是有限的（数学家称它为推广函数，或广义函数）。不过，它在理论物理中非常有用。（例如，在电动力学中一个点电荷的电荷密度就是一个?函数。）注意到?(x?a)是在点a面积为1的一个尖峰。如果你把?(x?a)乘以一个普通函数f(x)，这与乘以f(a)是一样的，
f(x)?(x?a)?f(a)?(x?a),
因为除了点a外乘积处处为零。特别有，
????f(x)?(x?a)dx?f(a)??(x?a)dx?f(a).
???这是?函数最重要的性质：在积分号下它“挑选出”f(x)在a点的值。（当然，积分不必从??到?；重要的是积分要包含点a，所以对任何??0，从a??积到a??就行。） 让我们考虑下列形式的势 V(x)????(x), 其中?为某个正的常数。固然，这是一个模拟势（同无限深方势阱一样），但是它十分简单便于处理，可以以最少的数学来阐明基本理论。?函数势阱的薛定鄂方程为
??2d?222mdx???(x)??E?;
由它可以得到束缚态（E?0）和散射态（E?0）。
首先来看束缚态。在x?0区域，V(x)?0，所以
式中
??d?dx22??2mE?2????,
2?2mE???x.
?x（由假设E为负值，所以?是正的实数。）方程的一般解是 ?(x)?Ae?Be, 但是当x???时第一项趋于无限大，所以我们必须令A?0：
?(x)?Be, (x?0).
在x?0区域，V(x)同样为零，一般解的形式时Fe??x?Ge?x；不过此时当x???时第二项趋于无限大，所以 ?(x)?Fe?x, (x?0).
现在仅需利用在x?0的适当边界条件把两个函数接合在一起。用?应满足的标准边界条件：
?1. ? 总是连续的；
? 2. d?/dx 除了势是无穷大点外是连续的. ?
在现在的情况下，第一个边界条件告诉我们F?B，所以
??x?Be?x, (x?0),?(x)????x
Be, (x?0);?
第二个边界条件不告诉我们任何事情；这是由于V在结合处为无穷大的例外情况，从图中可以清楚看出函数在x?0处有一个弯折。另外，除了x?0点外，?函数对我们的问题没有任何影响。显然?的导数在x?0的不连续是由?函数决定的。现在来看?函数的作用，作为一个副产物我们将明白为什么通常情况下d?/dx是连续的。
基本思想是对薛定鄂方程从??到?积分，然后取??0的极限： ??2m???2?d?dx22dx???V(x)?(x)dx?E???(x)dx.
????第一个积分是d?/dx，并在两个端点处取值；最后一个积分在??0
极限下为零，因为它是一个高度有限宽度为零的长条的面积。这样
?d???? ?????x?dx???????x???2m?2limVx(?)xdx() . ??0????一般情况下，右边的极限也是零，这就是为什么在通常情况下d?/dx是连续的。但是，当V(x)在边界上是无穷大时，这个结论不再成立。具体有，如果V(x)????(x)，2.113式给出
2m??d???(0). ???2 ????dx?对现在的情况
??x?d?/dx??B?e, (x?0), 所以 d?/dx????xd?/dx??B?e, (x?0), 所以 d?/dx??????B?,??B?,
因此?(d?/dx)??2B?。代入?(0)?B，给出