?Fe??x, x?a,??(x)??Dcos(lx), 0?x?a,
??(?x), x?0.?由波函数?(x)在x?a处的连续性可得， 由d?Fe?Dcos(la),/dx连续性可得，
??x
??Fe??x??lDsin(la).
两式相除，我们得到
??ltan(la).
由于?和l都是E的函数，这是一个关于所允许能量的公式。要求出E，我们首先采用一些简洁的记号：令 z?la, 及 z0?有(?2a?2mV0.
ka?z0?z22?l)?2mV0/?22，所以 ，而2.154式可写为
2 tanz?(z0/z)?1.
这是一个z（因此E）的作为z0函数的一个超越方程（z0描述势阱“大小”）。它可以用计算机求出数值解，或者也可以用作图法求解，在同一坐标系中画出tanz和(z0/z)2?1曲线，找到它们的交汇点。
下面讨论两种极限情况：
1、 宽深势阱。如果z0非常大，交汇点在略小于zn奇数）处；所以有
?n?/2（n为
En?V0?n??22222m(2a).
但是E?V0是比势阱底部能量高的一个值，在上式右边正好是阱宽为2a的一维无限深势阱能级?或者它们中的一半，因为现在n仅为奇数。（当然另一半来自于奇函数。）因此，当V0??时，有限深势阱转化为无限深势阱；但是，对任何有限的V0，仅有限多个束缚态。
2、浅窄势阱。 当z0降低时，束缚态越来越少，直到最后（当z0??/2时，最低奇态消失）仅存在一个束缚态。尽管如此，值得注意的是无论势阱多么“浅小”，总是至少存在一个束缚态。
现在要讨论散射态（E?0）。在势阱左边，V(x)?0，我们有
?(x)?Ae?Be, （x??a） 其中（和通常一样）
k?2mE?.
ikx?ikx在势阱内，V(x)??V0，
?(x)?Csin(lx)?Dcos(lx) （?a?x?a）
其中，和前面一样
l?2m(E?V0)?.
在势阱右边，假设在此区域没有入射波。我们有， ?(x)?Feikx.
这里A是入射波振幅，B反射波振幅，F是透射波振幅。
有四个边界条件： ?(x)在?a连续应满足
Ae?Be??Csin(la)?Dcos(la),
d?(x)/dx在?a处连续应满足，
ik[Ae?ika?ikaika?Beika]?l[Ccos(la)?Dsin(la)],
ika?(x)在?a处连续应满足，
Csin(la)?Dcos(la)?Fed?(x)/dx,
在?a处连续应满足
l[Ccos(la)?Dsin(la)]?ikFeika.
我们可以用其中的的两个方程消去D和C，然后用剩余的两个解出B和F（见习题2.32）：
B?iF?sin(2la)2kle(l?k)F,
A222?2ika2cos(2la)?i(k?l)2kl2.
sin(2la)
透射系数（T?F2/A2），用最初的变量可表示为：
2?2asin?4E(E?V0)??T?1?1?V0?2m(E?V0)?.?
注意当上式中的正弦函数为零时，即
时，其中n为任意整数， 的能量为：
2a?2m(En?V0)?n?,
。完全透射时T?1（势阱成为“透明”的）
En?V0?n??22222m(2a),
这恰好是一维无限深方势阱所允许的能量。
五、周期性势场与能带带结构
我们考虑固体内规则的排列、带正电和基本固定不动的核子会对电子产生力的作用。定性来看，电子的行为，很大程度上决定于势场的周期性?势场的具体形状仅对细节有关。我们以一个最简单的例子：一维狄拉克梳来说明，它由无数平均分布的狄拉克函数峰组成（图5.5）。
周期势的定义是每经过一个固定的距离a就会重复自身的势场：
V(x?a)?V(x). 布洛赫定理告诉我们，对于含周期势的薛定谔方程， ??2d?222mdx?V(x)??E?
它的解必定满足如下条件
iKa ?(x?a)?e?(x)
其中，K为某些适当的常数（这里我们称之为常数是因为它和x无关；但是它有可能和E有关系）。
图5.5：狄拉克梳，方程5.57。 证明：令D为“位移”算符： Df(x)?f(x?a). 对于一个周期势（方程5.47），D和哈密顿算符对易： [D,H]?0, 因此，我们可以任意选择H的本征函数使它同时是D的本征函数：D????，或者，
?(x?a)???(x).
现在，λ显然不为零（因为方程5.52适用于所有的x——我
们马上可以得到?(x)?0，它显然不是允许的波函数）；同其它非零复数一样，λ可以写为指数式：
?=e,
（其中K为某些适当的常数）。证毕。
所以虽然?(x)本身不是周期性的，但?(x)满足：
2iKa
[5.54] 这正同我们所预期的一样。
当然，某个固体物不可能无限大，它的边界一定会破坏周期势V(x)，进而导致布洛赫定理不再适用。但是，对于任何宏观的晶体，它都具有阿伏加德罗常数量级的原子数目，很难想象，边界效应会对对位于固体内部深处的电子有明显影响。这就启示我们可以用下面的方法来修正布洛赫定理： 以N?10为周期，我们把x轴首尾相连弯成一个园；这样，形式上我们可以加上边界条件
?(x?Na)??(x).
由它可以推出：
23所以eiNKa?(x)??(x),
=1，或者NKa?2?n，因此有，
eK?2?nNa,(n?0,?1,?2,...).
iNKa
特别地，对于这种排列方式，K一定是实数。布洛赫定理的优点就是我们仅需求解一个晶格内的薛定谔方程（比如，区间0?x?a）；利用递推方程5.49就可以得到固体各处的解了。 现在，我们假设势场是一系列狄拉克函数峰（狄拉克梳）：
V(x)????(x?ja).
j?0N?1[5.57]
（在图5.5中，我们需要把x轴想象成被弯成了一个园，所以第N个峰实际上将出现在x??a处。）不会有人认为这是一个实际的模型，但是请记住，周期性的影响是我们现在唯一考虑的因素。
在0?x?a内势能为零，所以：
??2d?222mdx?E?,
或者，