d?dx22??k?,
2和前面一样，其中，
k?其一般解为
2mE?,
?(x)?Asin(kx)?Bcos(kx),(0?x?a).
根据布洛赫定理，紧邻原点左侧晶胞的波函数为
?iKa?(x)?e[Asink(x?a)?Bcosk(x?a)],(?a?x?0).
在x?0处，?必须连续，所以
B?e[Asin(ka)?Bcos(ka)];
波函数的微分是不连续的，不连续的程度和狄拉克函数的强度成比例（方程2.125，但须将α变号，因为现在是峰，而不是势阱）：
kA?e?iKa?iKak?Acos(ka)?Bsin(ka)??2m??2B
求解方程5.61中的Asin(ka)得到
Asin(ka)?[e?cos(ka)]B.
把上式代入方程5.62，消去kB，我们得到：
2m??eiKa?cos(ka)??1?e?iKacos(ka)??e?iKasin2(ka)?2sin(ka) ?????kiKa化简后可以得到：
cos(Ka)?cos(ka)?m??k2sin(ka)
这是一个重要的结果，其它都可以由此导出。
上方程决定了k的可能值，也因此决定了能量的允许值。简单起见，令
z?ka, ??m?a?2,
这样，方程的右边可以写为
f(z)?cos(z)??sin(z)z.
常数?是表征狄拉克函数“强度”的一个无量纲量。在图5.6中画出了?=10情况下的f(z)。需要特别注意的是f(z)超出了(－1,+1)的范围，在这些超出的范围内，方程5.64是不可解的，因为cos(Ka)不可能比1大。这些间隙表示被禁戒的能量，称为能隙；它们被允许能量的能带所分离。在一个给定的能带中，实际上所有能量都是允许的，因为根据方程5.56，Ka?2?n/N, N是一个很大的数，n为任意整数。你可能会想要在图5.6中画上N条水平线，取值是cos(2?n/N)从(+1，－1)的所有值（即从n=0到n?N/2），之后再到 +1（n?N?1）?在这一点，布洛赫因子e完成一个振荡周期，因此不会因为n继续增加而产生新解。这些线与f(z)的每个交点表示一个允许的能量。显然，每个能带中有N个态。因为这些线相距很近，在很多情况下，它们都可以被视为是连续的（图5.7）。
iKa
图5.6：?=10时f(z)（方程5.66）的图像，可以看出允带被
禁带（此处f(z)?1）所分割。
图5.7：周期势所允许的能量基本形成了连续带。
目前为止，我们仅在势场中放入了一个电子。在实际中，这个值将是Nq，其中q是每个原子具有的“自由”电子数。因为泡利不相容原理的存在，只有两个电子可以占据一个相同的空间态，所以，如果q=1，它们将填充第一个能带的一半，如果q=2，它们将完全填满第一个能带，如果q=3，它们将填充第二个能带的一半，依此类推?这都是在基态时的情况。（在三维中，对于实际当中具有的势能，能带结构会更加复杂，但仍满足禁带分割允带——这种能带结构正是周期性势场的标志。）
现在，如果一个能带被完全填满，此时如果要激发一个电子就需要一个较大的能量，因为电子需要跳过一个禁带，这样的材料称之为绝缘体。相反地，如果一个能带是部分填充的，激发一个电子只需要一个很小的能量，这种材料通常为导体。如果我们对绝缘体进行掺杂，加入一些q偏小或偏大的原子，这些杂质原子将会产生一些“多余”电子进入高一能带，或者在原来被填满的能级中产生一些空穴，这两种情况都会在绝缘体中产生微弱的电流；这种材料我们称之为半导体。在自由电子模型中，所有的固体都应当是很好的导体，因为在允带间中没有很大的带隙。只有应用了能带理论我们
才成功地解释了固体中电子的导电性。
例题1 证明下列三个定理 （a）定态波函数?(x)总可以取作实数的，（不像?(x,t)一定是复数的）。这里并不是说任何定态薛定谔方程的解一定都是实数的，它的意思是说，如果你得到解不是实数的，总可以用这些解(具有相同能量)的线性组合得到实数的解。所以可以说解总可以取作实数。提示：对于一个给定的E，如果?(x)满足２.５式，那么它的共轭复数也满足，这样它们的线性组合????和i(????)是实数的解，它们也满足２.５式。 证: 由
H(x)?(x)?E?(x)
方程两边取复共轭, 注意到H(x)*?H(x), E*?E,有
** H(x)?(x)?E?(x)
*?(x)和?(x)满足同一个方程, 所以他们的线性组合?也满足方程
???和i(???)?** H(x)(?(x)??(x))?E(?(x)??(x)) 所以定态波函数?(x)总可以取作实数
（b）如果V(x)是偶函数（也就是说，V(?x)?V(x)）那么?(x)总可以取作偶函数或奇函数。提示：对于一个给定的E如果?(x)满足2.5式，那么?(?x)也满足方程，因此它们的奇偶组合?(x)??(?x)也满足。 证: 由于
H(x)???2d222mdx?V(x)
所以
H(?x)?H(x)
H(x)?(x)?E?(x)
?H(x)?(?x)?E?(?x)
?(x)和?(?x)满足同一个方程, 所以他们的线性组合?(x)??(?x)和?(x)??(?x)也满足方程.
?(x)??(?x)是偶函数, ?(x)??(?x)是奇函数
(c) 证明对于定态薛定谔方程的每一个归一化的解，E必定要大于V(x)的最小值。
证: 在任意态中求 H?T?V
由于 T?0 V?Vmi n所以 H?T?V?Vmin 若态取为能量本征态
H?En?T?V?Vmin 例题2
A beam of electrons with energy 1 eV approaches a potential barrier shown in the figure below. Estimate the fraction of electrons that tunnel through the barrier. 5 eV 2 eV e-
0.05 nm 0.05 nm
解: 这是一道标准的透射题,只不过多了一个势垒,按步骤 做就行 把势垒表示为