是薛定谔方程的一个新解，但这并不能保证它是归一化的?它可能是零或者它的平方积分可能是无限大的。事实上它是前者：有一个
最低的阶梯（称为?0）使得
a?? a??0?0. 我们可以利用这个确定?0(x)：
1?d???m?x???0?0,
2?m??dx?或
d?0m???x?0.
dx?这个微分方程很容易解：
d?0m?m?2 ?dx????xdx ? ln?0??2?x?常数，所以
?m?2?x2. ?0(x)?Ae我们现在对它进行归一化：
1?A22m?所以A?m?/??，因此
????e?m?x/?2dx?A2??,
?m??x ) ? ? 0 ( ? ? e????
1/4?m?2?x2.
我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量（以方程2.57的形式），
??(a?a??1/2)?0?E0?0，利用a??0?0，有：
E0?1?? 2现在我们安全地站在梯子的最底部（量子谐振子的基态），从而我们
可以反复应用升阶算符生成激发态, 每一步增加能量??：
?n(x)?An(a?)?0(x),n1??En??n????, 2??
这里An是归一化常数。通过将升阶算符（反复）作用于?0，我们能够（原则上）得出谐振子所有的定态。同时，不用另外计算，就可以确定所允许的能量. 例题 求出谐振子的第一激发态。 解：利用方程
?1(x)?A1a??0?1/4d???m???m?x??????dx??2?m?????A1m?x21/4e?m?2?x2?2m??m??2? =A1?xe?????? 我们可以直接“手算”对它进行归一化：
. ??12dx?A12m??2m???2??????xe?????m??x2dx?A1,
2
恰好，A1?1。
我们甚至可以用代数的方法得到归一化常数，不过需要一些精巧的步
骤，请留意。我们知道a??n是正比于?n?1的.
a??n?dn?n?1 a??n?cn?n?1,但是比例因子cn和dn是什么？首先注意到a?是a?的厄密共轭。
所以有：
????(a??n)(a??n)dx?*????(a?a??n)?ndx.
*
但是：
a?a??n?(n?1)?n, a?a??n?n?n,所以：
?
??????(a??n)(a??n)dx?cn(a??n)(a??n)dx?dn**2???????2?n?1dx?(n?1)?2???22?ndx,?2??n?1dx?n?????ndx.
但是由于?n和?n?1已是归一化的，可知cn2?n?1，dn2?n，因此：
a??n?n?1?n?1,a??n?n?n?1.
这样
112??a?,??a??(a)?0, ?02?1? 122
?3?13a??2?13?2(a?)?0,3?4?14a??3?14?3?2(a?)?0,
4
依此类推。显然有
1 n
?n?(a?)?0,[2.67]
n!
例题求出谐振子第n态势能的期待值。 解：
V?12m?x22?12m?2?????nx?ndx.
*2
计算这类积分有非常简洁的办法（有关x和p的幂次的）：根据定义（方
程2.47）利用升降阶算符来表示x和p：
x??2m?(a??a?);p?i?m?2(a??a?).
在目前这个例子中，我们对x2感兴趣：
x?所以
V但是(a2?n2?2?(a?)2?(a?a?)?(a?a?)?(a?)2?. ?2m??????4*22???ndx. ?(a)?(aa)?(aa)?(a)n?????????，它和?n是正交的，同样
(a)?正比于?n?2是。所以这些项被去除，我们可以利用方程2.65计
算余下的两项：
n?2)?n（除了归一化常数外）等于?
V???4(n?n?1)?11?????n??. 22??
可以看出，势能的期待值正好是总能量的一半（另一半当然是动能），
这是线性谐振子的一个特征，后面我们还会看到。 4. 有限深方势阱
考虑有限深方势阱：
?x?a,???V0, ? aV(x)?? 0, x?a,??
其中V0是(正的)常数。和δ函数势阱一样，这个势允许有束缚态（E以及散射态（E?0）。我们首先来看束缚态。
在x??a区域，势为零，所以薛定谔方程为：
??2?0）
d?222mdx?E?, 或
d?dx22???,
2其中
?是正的实数。一般解是?(x)?Aexp(??x)?Bexp(?x)，但是，当x???时，解的第一项趋于无穷大，所以物理所许可的解是
?(x)?Bexp(?x), x??a
在?a?x?a区域，V(x)??V，薛定谔方程为：
0???2mE??2d?222mdx?V0??E?, 或
d?dx22??l?,
2其中
l?2m(E?V0)?.
尽管E是负的，但对于束缚态，它必定大于?V0；因此，l是一个正的实数。一般解是
?(x)?Csin(lx)?Dcos(lx), ?a?x?a,
其中C和D是任意常数。最后，在x?a区域，势仍然为零；其一般解是?(x)?Fexp(??x)?Gexp(?x)，但是当x??，第二项趋于无穷大，所以解为
?(x)?Fe??x, x?a.
下一步是加上边界条件：但是注意?和d?/dx在?a和a处连续。到势能是一个偶函数，不失一般性，我们可以假设解要么是奇函数要么是偶函数来简化问题。这样做的优点是我们仅需要考虑一侧的边界条件（比如说在?a处）即可；由于?(?x)???(x)，另一侧自动满足边界条件。这里我们仅讨论偶函数解，你们可自己讨论奇函数解。由于余弦是偶函数（正弦是奇函数），所以我们要求的解可以写为：