??2m??22,
m?2?22允许的能量值(2.117式)是 E??最后,我们归一化?：
??2m??.
2????2?(x)dx?2B2??0e?2?xdx?B??1,
所以（方便起见，选择正的实根）： B??显然对?函数势阱，无论它的“强度”?如何，仅有一个束缚态：
2 m ?2m??m?x/?[2.129] ?(x)?e; E??. 2?2?
E?0的散射态如何？当x?0薛定鄂方程为
??m?.
其中
d?dx22??2mE?2???k?,
2k?2mE?ikx
?ikx是实的和正的。一般解是
?Be, ?(x)?Ae这一次两项都不能丢掉，因为它们都不趋于无穷大。类似的，对x?0，
?(x)?Fe?(x)在x?0处的连续性要求 导数为
ikx?Ge?ikx.
F?G?A?B.
ikx?ikx??d?/dx?ik(Fe?Ge), 对(x?0), 所以 d?/dx??ik(F?G),?ikx?ikxd?/dx?ik(Ae?Be), 对(x?0), 所以 d?/dx??ik(A?B),?? 所以
?(d?/dx)?ik(F?G?A?B)。
另外，
?(0)?(A?B)，
所以，第二个边界条件为
(F? ik或者，更紧凑些，
G?2m?A?)B??2?(A? )B ,
F?G?A(1?2i?)?B(1?2i?), 其中 ??m??k2.
考虑边界条件后，我们得到关于4个未知数（A, B, F和G）?
如果k也计入是5个?的两个方程。归一化不会有任何帮助?这不是可归一化的态。我们莱考察一下这些常数的物理意义。我们已经知道
（和含时因子exp(?iEt/?)结合在一起时）一个向右传播的波，exp(ikx)是
exp(?ikx)是向左传播的波。这样A是从左边过来的波的振幅，B是返回左边的波的振幅，F是向右离开的波的振幅，G是从右边过来的波的振幅。在通常的散射实验中，粒子是由一个方向入射的?比如说，从左边。在这种情况下，从右边来的波的振幅将为零：
; G?0, （对从左边入射）A是入射波的振幅，B是反射波的振幅，F是透射波的振幅。对B和F解方程2.133和2.135,我们有
B?i?1?i?A, F?11?i?2A.
现在，在一个特定区域发现粒子的几率是?，所以入射粒子将被反射回的相对几率是
RR?BA22??221??.
被成为反射系数。（如果有一束粒子，它告诉你入射粒子中被反射回的比例。）同样，透射几率由透射系数给出
T?FA22?11??2.
当然，这两个几率之和应当为1?也就是：
R?T?1. 注意到R和T是?的函数，从而是E（2.130和2.135式）的函数： 11R?, T?. 2222[2.141] 1?(2?E/m?)1?(m?/2?E)
可以看出，能量越高，透射几率就越大（这当然是合理的）。 这些结果非常不错，但是还有一个原则上的棘手问题我们不能忽略：这些散射波函数是不可归一化的，所以它们实际上不代表可能的粒子态。但是我们知道如何解决这个问题：我们必须构造定态解的可归一化的线性迭加，正如我们对自由粒子做的那样?真实的物理粒子是由迭加成的波包所表示的。尽管原理上直截了当，但是在实际中做起来却不太容易，此时使用计算机也许是最好的方法. 另外，如果不涉及能量的一个范围，构造可归一化的自由粒子波函数是不可能的，R和T应当被理解为粒子的能量在E附近时的近似的反射和透射系数。
顺便提及，你们可能感到奇怪，我们怎么能够用定态去分析一个本质上是含时的问题（粒子入射过来，被势散射，然后又回到无限远处）。首先，?（只是一个复的、不依赖时间的正弦函数，在两个方向上都扩展（有着常数振幅）到无限远。其次，对这个波函数加上适当的边界条件，我们能够决定一个粒子（由一个局域化的波包表示）被势反射或透射的几率。隐藏在背后的数学秘密是，事实上，由分布在整个空间态的线性迭加以及通常的行波时间依赖关系，我们可以构造局域在一（运动着的）点有相当完善的时间行为的波函数。
只要我们已经理解了相关问题，让我们来简短讨论一下?函数势垒情况。形式上,我们只需要改变?前的?号为+号。当然，这样一来束缚态就不存在了。另一方面，由于反射和透射系数仅依赖于?2,它们是不改变的。说也奇怪，粒子越过势垒就像它通过势阱一样！当然，经典上，一个粒子无论其能量如何是不能越过一个无限高势垒的。事实上，经典的散射问题相当单调：如果E?Vmax则T?1,R?0?粒子越过势垒；如果E?Vmax则T?0,R?1?它爬上山坡动能耗尽，然后按原路返回。而量子散射现象却非常丰富：即使是在E?Vmax情况下，粒子也有
越过势垒的几率。我们称这种现象为隧道效应；这是许多现代电子学技术成为可能的基础?更不用说在电子显微镜方面的进展。反过来也一样，即使E?Vmax，也存在粒子被反射的几率.
四. 谐振子问题的代数解法
让我们把谐振子定态薛定鄂方程写作
?p2?(m?x)2???E?,
?2m?引入算苻
1a??(?ip?m?x) 2?m?
可以计算出积a?a?
a?a?? ?12?m?12?m?(ip?m?x)(?ip?m?x)[p?(m?x)?im?(xp?px)].12?m?221
a?a??[p?(m?x)]?22i2?[x,p].
利用上面式子，方程2.49可写为
11a?a??H?,
??21??H????a?a???.
2??注意a?和a?次序非常重要，如果a?在左边，则有
a?a??1??H?12.
特别有
[a?,a?]?1.
所以哈密顿量还可以等价的写成：
1?? H????a?a???.
2??利用a?，谐振子的薛定谔方程可写为如下形式：
1?? ???a?a?????E?.
2??现在，下面是关键步骤：如果?能够满足能量为E的薛定谔方程
（即H??E?），则a??满足能量为（(E???)）的薛定谔方程：H(a??)?(E???)(a?。) ?证明：
1?H(a??)????a?a??2?1???(a?)???aaa?a?????????2???1??1???? =??a??a?a?????a?????a?a??1????2?2????? =a?(H???)??a?(E???)??(E???)(a??).
同样可证，a??是能量为(E???)的解：
1?1???H(a??)????a?a???(a??)???a??a?a????2?2????1??? ?a?????a?a??1????=a?(H???)??a?(E???)?2???? ?(E???)(a??). 所以这是一种生成新解的极好方法，如果我们得到了一个解，通过升降能量就可以得到其它的解。我们把a?叫作阶梯算符，因为它们能使我们升降能级；a?是升阶算符，a?是降阶算符.
如果反复应用降阶算符，那又会怎样呢？最终，我们会到达一个低于零的能量状态，而（根据一般定理E?Vmin）这根本是不存在！在某个地方这个机制必定是失效的。为什么会出现这种情况？我们知道