第十章 无穷级数习题详解
第十章 无穷级数
习题10-1
1. 写出下列级数的前五项:
?1?3??(2n?1)n（1）?; （2）?; 22?4??(2n)(2?n)n?1n?1?n!(?1)n?1（3）?; （4）?. nn?1(n?1)n?110n12345解 （1）2?2?2?2?2??
3456711?31?3?51?3?5?71?3?5?7?9????? （2） ?22?42?4?62?4?6?82?4?6?8?1011111?????? （3）
10203040501!2!3!4!5!（4）1?2?3?4?5??.
23456??2. 写出下列级数的一般项: (1)
111????; 2461aa2a3?????; (2)
1?53?75?97?1135791113????; (3) ????149162536xxxxx2????? (x?0). (4) 22?42?4?62?4?6?8解（1）因为
1111111??，因此一般项un?，?，? 21?242?263?22n1a0aa1 (2) 因为 ， ??1?5(2?1?1)?(2?1?3)3?7(2?2?1)?(2?2?3)a2a2an?1 ??因此一般项un?5?9(2?3?1)?(2?3?3)(2n?1)(2n?3)（3） 因为
3(2?1?1)572(2?2?1)3(2?3?1)?(?1)1??(?1)? ，?(?1)，11?1492232n(2n?1)因此一般项un?(?1)
n2?（4）因为
xxxxxxx???， ?，，
21?22?42?42?4?62?4?6122232- 1 -
第十章 无穷级数习题详解
nnn222因此一般项uxn?2?4?6??(2n)?x2(1?2?3??n)?xn2nn!.
3. 判定下列级数的敛散性:
??（1）?(n?1?n); （2）1n?1n??1(2n?1)(2n?1);
（3）
11?2?12?3???1n(n?1)??; （4）sinπ2πn6?sin6???sinπ6??; ?（5）?(n?2?2n?1?n); （6）
1111n?13?3?33?43??; （7）(13?12)?(132?122)????(13n?12n)??; （8）13572n?13?5?7?9???2n?1??; （9）??(2n?1a?2n?1a) （a?0）;
n?1(10)
1?1111(1?1?1???1??. ?2132)(1?1n3)(1?n)解（1）因为
Sn?(2?1)?(3?2)?(4?3)???(n?1?n)?n?1?1n??时，Sn??，故级数发散.
（2）因为
1(2n?1)(2n?1)?12(12n?1?12n?1)
S111n?1?3?3?5?5?7???1(2n?1)(2n?1) ?12[(1?13)?(13?15)??(12n?1?12n?1)] ?12[1?12n?1], 当n??时，S1n?2，故级数收敛.
(3) 因为
111n(n?1)?n?n?1，
Sn?111?2?2?3?13?4???1n(n?1) - 2 -
当
第十章 无穷级数习题详解
111111?(1?)?(?)??(?)?1?
223nn?1n?1当n??时，Sn?1，故级数收敛.
?2?3?n??sin?sin???sin 66661???2??3??n??(2sinsin?2sinsin?2sinsin???2sinsin)?1261261261262sin121?3?3?5?2n?12n?1?[(cos?cos)?(cos?cos)???(cos??cos?)]?1212121212122sin121?(2n?1)??[cos?cos]
?12122sin122n?1?不存在，所以limSn不存在，因而级数发散. 由于 limcosn??n??12（4）因为 Sn?sin（5）因为
n?2?2n?1?n?(n?2?n?1)?(n?1?n)
Sn?[(3?2)?(2?1)?(4?3)?(3?2)?(5?4)?(4?3)???(n?2?n?1)?(n?1?n)]
?(n?2?n?1)?(2?1)?1?(2?1)
n?2?n?1当n??时，Sn?1?2，故级数收敛. (6) 该级数的一般项un?该级数发散.
??1111111111(7) (?)?(2?2)?(3?3)???(n?n)??n??n
32323232n?13n?12?1111q??1q??1该级数为公比的等比级数，该级数收敛，而该级数为公比??nn32n?13n?12?11的等比级数，该级数也收敛，故?n??n也为收敛级数.
n?13n?12??1n3?3?1n?1?0(n??)，故由级数收敛的必要条件可知，
(8) 该级数的一般项un?件可知，该级数发散.
2n?12?1??1?0(n??)，故由级数收敛的必要条2n?12n?1- 3 -
第十章 无穷级数习题详解
(9) 因为 Sn?(3a?a)?(5a?3a)???(2n?1a?2n?1a)?2n?1a?a 当n??时，Sn?1?a，故该级数收敛. (10) 该级数的一般项un?111?[(1?)n]?1??0(n??)，故由级数收敛的必1nne(1?)n要条件可知，该级数发散. 4. 证明下列级数收敛，并求其和：
1111???????. 1?44?77?10(3n?2)(3n?1)证 Sn?1111 ?????1?44?77?10(3n?2)?(3n?1)11111111?[(1?)?(?)???(?)]?(1?) 34473n?23n?133n?1当n??时，Sn??1，故该级数收敛，且 311. ??(3n?2)?(3n?1)3n?15．若级数
?un?1?n与
?vn?1??n都发散时，级数
?(un?1?n?vn)的收敛性如何？若其中一个收敛，一
个发散，那么，级数
?(un?1?n?vn)收敛性又如何？
解 若级数分别为
n?1u?1?1?1???(?1)??；(发散) ?nn?1?vn?1?n（发散） ??1?1?1???(?1)n??；
???则级数
?(un?1?n但是如果另外有级数?wn??un，则级数?(un?wn)显?vn)显然收敛；
n?1n?1n?1然发散。即两个发散的级数相加减所得级数可能收敛，也可能发散。
若其中一个级数
?un?1?n收敛，另一个
?vn?1?n发散，则
?(un?1?n?vn)肯定发散.若不然，
- 4 -
第十章 无穷级数习题详解
?(un?1?n?vn)收敛，则?vn??(un?vn)??un应该收敛，与假设矛盾.同理，若?(un?vn)收
n?1n?1?n?1n?1??????敛, 则??vn??(un?vn)??un应该收敛，与假设矛盾.
n?1n?1n?1
习题10.2
1. 用比较判别法或其极限形式判定下列各级数的敛散性： （1）
1111???????; 2?53?64?7(n?1)?(n?4)111????; 357（2）1+
（3）?1111??????; 222135(2n?1)2(sin2)2(sin4)2(sin2n)（4）??????; 2n666ππππ（5）sin?sin?sin???sinn??.
24821n2(n?1)(n?4)?lim2?1 解（1）由于limn??n??n?5n?41n2而级数
1收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛. ?2n?1n?1n1(2) 由于lim2n?1?lim?，
n??n??2n?112n而级数
1发散，由比较判别法的极限形式，故原级数发散. ?nn?1?1n21(2n?1)2?lim()? （3）由于limn??n??2n?114n2而级数
1收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛. ?2nn?1??1(sin2n)211q??1的等比级数，该级数收敛，由比? （4）un?，而为公比?nnn666n?16- 5 -