第十章 无穷级数习题详解
1???21n(8) 因为 ?un??sin2，lim?1，故?un收敛，即原级数是绝对收敛。
n??1nn?1n?1n?12nsin
习题 10.3 1. 求下列幂级数的收敛域：
xx2x3x4（1）x?2x?3x??; （2）??2?2?2??;
123422223xx2x32???; （4）2x?2x?2x3??; （3）?22?42?4?61?12?13?1234xxxx?2?3?4??; （5）
2?1!2?2!2?3!2?4!23xx2x3x4?????; （6）2341?32?33?34?3（7）
?(?1)n?1??n?1n?x2n?1n?1(x?1); （8）?(?1); (2n?1)!nn?1?(x?5)n2n?12n?2（9）?; （10）?. xn2nn?1n?1解 （1）un?nxn,an?n，??liman?1n?1?lim?1，
n??an??nn所以收敛半径R?1??1
?当x?1时，原级数为
?n，limn???0，该级数发散
n?1n??当x??1时，原级数为
?(?1)n?1?nn，lim(?1)nn???0，该级数发散
n??因而该级数的收敛域为 (?1,1).
an?1xnn2n1,an?(?1)2,??lim(2) un?(?1)?lim?1, 22n??n??nnan(n?1)n所以收敛半径R?1??1.
?(?1)n当x?1时，原级数为?，为交错级数，该级数收敛. 2nn?1- 11 -
第十章 无穷级数习题详解
当x??1时，原级数为
?nn?1?12，该级数也收敛,
因而该级数的收敛域为 [?1,1].
xn1(3)un?,an?,
2?4?6?(2n)2?4?6?(2n)??liman?12?4?6?(2n)1?lim?lim?0,
n??an??2?4?6?(2n)?(2n?2)n??2n?2n1故收敛半径R?????，因而该级数的收敛域为 (??,??).
2n2nnx,an?2, (4) un?2n?1n?1an?12n?1n2?12(n2?1)??lim?lim?n?lim?2, 2n??an??(n?1)2?1n??2(n?1)?1n所以收敛半径R?1??1. 2??12n1n1当x?时，原级数为?2，该级数收敛. ?()??222n?1n?1n?1n?1?1(?1)n当x??时，原级数为?，该级数也收敛, 22nn?1因而该级数的收敛域为 [?11,]. 22xn1,an?n,, (5)un?n2?n!2?n!an?12n?n!1??lim?limn?1?lim?0,
n??an??2n??2(n?1)?(n?1)!n故收敛半径R?1????，因而该级数的收敛域为 (??,??).
an?111n?3n1nx,a?,(6) un?, ??lim?lim?nnnn?1n??n??n?3n?3an3(n?1)?3- 12 -
第十章 无穷级数习题详解
所以收敛半径R?1??3.
当x?3时，原级数为
1，该级数发散. ?nn?1??(?1)n当x??3时，原级数为?，该级数为交错级数，收敛,
nn?1因而该级数的收敛域为 [?3,3).
(7) 因为该级数缺少偶次幂，我们根据比值审敛法来求收敛半径
un?1x2n?1(2n?1)!x2lim?lim??2n?1?lim?0, n??un??(2n?1)!n??2n?(2n?1)xn因而该级数的收敛域为 (??,??).
n(x?1)n1n?1t,an?(?1)n?1, ,令t?x?1，则un?(?1)nnn(8) un?(?1)n?1??liman?1n1?lim?1,收敛半径R??1，有 x?1?1，即0?x?2
n??an??n?1?n?(?1)2n?1?(?1)当x?0时，原级数为?，该级数发散. ??nn?1n?1n(?1)n?1当x?2时，原级数为?，该级数为交错级数，收敛.
nn?1?因而该级数的收敛域为 (0,2]
(9) 因为该级数缺少奇次幂，我们根据比值审敛法来求收敛半径
un?1(2n?1)x2n2n(2n?1)x2x2. lim?lim???lim?n?12n?2n??un??n??2?(2n?1)22(2n?1)xnx2?1，即?2?x?2时，该级数收敛. 当2x2?1，即x?2时，该级数发散. 当2当 x?2时，原级数为?2n?1，该级数发散. 2n?1?- 13 -
第十章 无穷级数习题详解
当 x??2时，原级数也为
?2n?1，该级数发散. 2n?1?因而该级数的收敛域为 (?2,2). (10) un?(x?5)nn,令t?x?5，则un?tnn,an?1n
??liman?11n?lim?1,收敛半径R??1，有 x?5?1，即4?x?6
n??an???n?1n当x?4时，原级数为
?n?1??(?1)nn1n，该级数为交错级数，收敛.
当x?6时，原级数为
?n?1，该级数发散.
因而该级数的收敛域为 [4,6).
2. 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数： （1）1?2x?3x?4x??; （2）
?23?(?1)n?1?n?1nxn?1;
x4n?1（3）?.
n?14n?1?x3x51???，并求?（4）x?的和.
n35(2n?1)2n?1解（1）由于
?x?0?nxdx???nxdx??xn?n?1n?1n?1n?10n?1?x?x. 1?x故有
?nxn?1?n?1x1?()??1?x(1?x)2n?1n?1?(?1?x?1).
x?(2) 由于
??x?0?(?1)n?1nxdx???(?1)n?10n?1nxdx??(?1)n?1xn?n?1n?1x. 1?x故有
x1n?1n?1?(?1)nx?()??1?x(1?x)2n?1?(?1?x?1).
??x4n?1x4n?1x44n(3) 由于 (?)???()???x?1?x4n?14n?1n?14n?1n?1?(?1?x?1).
xx4n?1x411?x1故有 ???dx?ln?arctanx?x(?1?x?1). 4041?x21?xn?14n?1- 14 -
第十章 无穷级数习题详解
?x2n?1?1??(x2n?1?(4) 由于 (?)??)??(?1?x?1),
n?12n?1?x2n?2?1n?12nn?11?x2?故有 ?x2n?1?x11(?1?x?1),令x?1, 得
n?12n?1?01?x2dx?1?x2ln1?x21)2n?1??1?(1)2n(?21?2 n?1(2n?1)2n??n?1(2n?1)2??n?1(2n?1)1?1?12?122ln?2ln(1?2)(?1?x?1) . 1?122题 10.4
1. 求下列函数的麦克劳林公式：
（1）f(x)?xex; （2）f(x)?cos2x;
（1）ex?1?x?x22!?x33!???xn?1e?x解 n(n?1)!?n!x(0???1).
f(x)?xex?x?x2?x3x4xne?xn?12!?3!???(n?1)!?n!x(0???1).
(2) 因为 cosx?1?1214(?1)n2n2!x?4!x???(2n)!x?o(x2n).
则有 cos2x?1?114(?1)n22!(2x)?4!(2x)???(2n)!(2x)2n?o(x2n)
?1?2x2?2x4???(?1)n22nn)!x2n?o(x2n3(2).
2. 求下列函数展开成关于x的幂级数，并求收敛区域：
（1）ln(a?x)（a?0）; （2） ax; （3）
1x2?3x?2; （4）sin2x; （5）cosx2; 解 (1) ln(a?x)?ln[a(1?xa)]?lna?ln(1?xa) ?由于 ln(1?x)??(?1)n?1xn，
n?1n- 15 -
习