第十章 无穷级数习题详解
(sin2n)2较判别法,故级数 ?也收敛. n6n?1???sinnn22 （5）由于 lim?lim????，
n??n??1?2n2nsin?1?而?n收敛，故?sinn也收敛.
2n?12n?1?2. 用比值判别法判别下列级数的敛散性： （1）1?（2）3?（3）sin?45n?2??????; 23n33332?2!22?33?3!313???3n?n!n1n??;
11?2?sin2?3?sin3???nsinn??; 2222?lnn(n!)2（4）?; （5）;
n(3n)!n2n?1n?1??nnn2（6）?; （7）?n.
n!n?1n?13?un?1n?2n?33n1n?31解（1）un?，lim?lim??lim???1，
n??un??3n?1n??3n?23nn?23n故该级数收敛.
3n?n! （2）un?，
nnun?13n?1(n?1)!nnnn1n3lim?lim??lim3()?3lim(1?)??1 nn??un??(n?1)n?1n??n??n?1n?1e3n!n故该级数发散. （3） un?nsin1， 2nulimn?1?limn??un??n故该级数收敛.
(n?1)sin12n?1?lim2n?1n??11nsinn22n?1sin11nn?112????1， 12n2sinn2(n!)2（4） un?，
(3n)!- 6 -
第十章 无穷级数习题详解
un?1[(n?1)!]23n!(n?1)2lim?lim??lim?0?1， n??un??[3(n?1)]!(n!)2n??(3n?1)(3n?2)(3n?3)n故该级数收敛. （5）un?lnnn2n，
un?1ln(n?1)n2n1ln(n?1)n1lim?lim??lim???1， n?1n??un??n??2lnnlnnn?12n?12n故该级数收敛.
un?1nn(n?1)n?1n!n?1n1（6）un?，lim?lim?n?lim()?lim(1?)n?e?1，
n??(n?1)!n??n??n!n??unnnn故该级数发散.
n2（7）un?n，
3un?1(n?1)23n1n?121lim?limn?1?2?lim()??1， n??un??n??3n33nn故该级数收敛.
3. 用根值判别法判定下列各级数的敛散性：
?nn12（1） ?(); （2）?(1?)n;
nn?15n?2n?1?n?2n2)??3nn（3）? ; （4）; nn1?e2n?1n?1?b（5）?()n，其中an?a(n??),an,b,a均为正数；
n?1an(??x?（6）???a??n?1?n??n(x?0,liman?a,an?0)．
n??解（1）由于limnun?limn(n??n??nnn1)?lim??1，
n??5n?25n?25故该级数收敛.
1n21n(2) 由于limun?lim(1?)?lim(1?)?e?1，
n??n??n??nnnn故该级数发散.
(3) 由于limnun?limn??n??n(n?2n22)(1?)n12ne2nn?lim?lim(1?)??1， nn??n??22n22- 7 -
第十章 无穷级数习题详解
故该级数发散.
n33(4) 由于limnun?limn??1，故该级数发散.
n??n??1?ene(5) limnun?limn(n??n??bnbb)?lim?
n??aananbb?1,即b?a，该级数收敛；当?1,即b?a，该级数发散； aab当?1,即b?a，不能判断. a当
(6) limnun?limn(n??n??xnxx)?lim?
n??aananxx?1,即x?a，该级数收敛；当?1,即x?a，该级数aa1）当a?0时，该级数发散 2）当0?a??时，有当发散；
当
x?1,即x?a，根值法不能判断. a4. 判别下列级数的敛散性：
??3323334n（1）?2()?3()?4()??; （2）(n?1)sinn;
44442n?1?1111?sin)???(?sin)??; 22nn222（4）ln(1?2)?ln(1?2)?ln(1?2)??;
123???2n（5）2?sin?2?sin2???2?sinn??;
3332n?11?ncos??3； （7）(en?en?2). （6）??n2n?1n?1（3）(1?sin1)?(n解（1）un?n()，limnun?limnn()?limnn?n??n??n??34n3433??1， 44故该级数收敛. （2）un?(n?1)nsin?2n,limnun???,，所以发散.
n??11113!1?sin??3?o(3)11n?limnnnn?0，故该级数收敛. (3) un??sin,limnn??11nnn??n2n2(4) un?ln(1?222)ln(1?)~(n??)， ,因 222nnn- 8 -
第十章 无穷级数习题详解
ln(1?故limn??22)n2?limn2?2，
n??11n2n2而
1收敛，故该级数收敛. ?2nn?1n??2n2(5) un?2sinn,因sinn?n,有2sinn?()?,?()n?收敛，
33333n?13n????由比较收敛法，故该级数收敛.
ncos2(6) un?n?n?ncos23?n，limnn?1?1， 3,因
2n2n2nn??2n2而级数
n收敛，由比较收敛法，故该级数收敛. ?nn?121?n?(7) un?e?e1n?2, lime?e?2?1(由罗比达法则)，故该级数收敛.
n??1n21n?1n5．判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛？
1; nn8nn?1n?1??n?11n?1n?1（3）?(?1)sin3; （4）?(?1)ln;
nnn?1n?1（1）
?(?1)?n?11; （2）
?(?1)n?1?1111?????（a不为负整数）; 1?a2?a3?a4?a1111（6）?????;
ln2ln3ln4ln5（5）?（7）
1?1?1?sin?sin?sin??; ?22?33?44112（8）sin?sin122?sin132?sin?142??.
为交错级数，且un?un?1，limun?0，故该级
n??解 （1）un?(?1)n?11n，显然
??un?1n数收敛，又因为
?un??n?1n?1?1n??n?1?1n12是p?级数，p?1?1， 2故
?un?1?n发散，即原级数是条件收敛.
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第十章 无穷级数习题详解
?111(2) 因为?un??n，nun?n ??1，故?un收敛，即原级数是绝对收敛。n8n8n8n?1n?1n?1??1??311n(3) 因为?un??sin3,lim?1,而?3收敛，故?un收敛，即原级数是绝
n??1nn?1n?1n?1nn?13n??sin对收敛。 (4) un?(?1)n?1?n?1n?1n?2ln?ln?un?1，,显然?un为交错级数，且un?lnnnn?1n?1limun?0，故该级数收敛。
n??1ln(1?)????n?1?11n又因为 ?un??ln??ln(1?)，lim?1而?发散，故?un发
n??1nnn?1n?1n?1n?1nn?1n散，即原级数是条件收敛.
?111??un?1，(5) un?(?1),显然?un为交错级数，且un?n?an?a(n?1)?an?1nlimun?0，故该级数收敛；
n??1??11n?a又因为 ?un??，lim?1而?发散，故?un发散，即原级数是条件
n??1n?an?1n?1n?1nn?1n??收敛. (6) un?(?1)n?1?111??un?1，,显然?un为交错级数，且un?ln(1?n)ln(1?n)ln(2?n)n?1limun?0，故该级数收敛，
n???1111?又因为 ?un??，因un?，由比较收敛法，而?发
ln(1?n)1?n1?n)n?1n?1ln(n?11?n???散，故
?un?1?n发散，即原级数是条件收敛.
? (7) 因为
?un??n?1n?1?n1?sinn?1?n?1,因sin?n?1?1 ,而
1?sinn?1?n?1?1?n?1，
??n?1?1n?1收敛，故
?un?1收敛，即原级数是绝对收敛。
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