第十章 无穷级数习题详解
?(?1)nx?1n12n?3（1）; （2）?(?1)n. x()n2x?12nn?2n?1n3. 求下列级数的收敛区间：
??x2n1?n2n（1）?; （2）?(1?)x.
(2n?1)(2n)nn?1n?14. 求下列幂级数的收敛区间和收敛半径:
??（1）??(x?1)2nn?32nn?13n?(?2)n; （3）?(x?1)n;
nn?1?5. 将函数f(x)?6. 将函数f(x)?11?x1ln?arctanx?x展成为关于x的幂级数. 41?x2x29?x7. 求下列幂级数的收敛域及和函数.
?n展成x的幂级数.
?n2n（1）?n(n?1)x; （2）?x.
n?1n?1n!四．计算题解答
1．判断下列级数的敛散性： （1）因为1?cos?n?2sin2?2n，而n??时，sin?2n~?2n，
当p?11时，该级数收敛，当0?p?时，该级数发散。
22n2nnn2nu?lim?lim??1 （2）un?n，nnn??n??n3333?2()n?1()n?122故该级数收敛。
?（3）
?(?1)n?1n?1k?n(k?0) 2nk?nk?(n?1)??un?1，limun?0， 22n??n(n?1)该级数为交错级数，且un?故该级数收敛，
????k?n111又因为 ?un??2?k?2??，而?发散，故?un发散，即原级
n?1n?1nn?1nn?1nn?1nn?1??数是条件收敛.
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第十章 无穷级数习题详解
sin（4）由于un??3n， nsin?nsinlimun?13n?1??limn??un??n?1nsin???3n?limn??3n?1?3n?1n?1?1，
??3n?13sin3n?13n故该级数收敛。
（5）该级数为交错级数，且un?故该级数收敛，
???111又因为 ?un????，而?发散，故?un发散，即原级数是条
n?sinnn?1n?1n?1nn?1nn?1??11??un?1，limun?0，
n??n?sinn(n?1)?sin(n?1)件收敛.
un?12nn!2n?1(n?1)!nnnn2（6）由于un?n，lim?lim??lim2?()??1， n?1nn??n??n??nunn?1e(n?1)2n!故该级数收敛。
（7）该级数为交错级数，且un?该级数收敛，
???111又因为 ?un????，而?发散，故?un发散，即原级数是条件
n?1n?1n?lnnn?1nn?1nn?1??11??un?1，limun?0，故
n??n?lnn(n?1)?ln(n?1)收敛.
（8）由于un?ntan?2n，
ulimn?1?limn??un??n(n?1)tanntan?2n?1?limn??tan?2n?1??2ntan????1n?11??1，
2n22n2n?12n故该级数收敛。
(?1)nx?1nx?1(?1)n),令t?,an?, 2．(1) un?2(2x?1n?x?1nan?11x?1n2R??1,故收敛半径, ?1，即x?0 ??lim?lim?1n??an??(n?1)2?x?1n- 27 -
第十章 无穷级数习题详解
当x?0时，原级数为
?nn?1?12，该级数收敛
因而该级数的收敛域为 [0,??)
（2）因为该级数缺少偶次幂，我们根据比值审敛法来求收敛半径
un?1x2n?12n?nx2 lim?lim?n?1?2n?3?n??un??22?(n?1)xnx2?1，即?2?x?2时，该级数收敛 当2x2?1，即x?2时，该级数发散 当2(2)?3当 x?2时，原级数为?(?1)，该级数收敛
nn?1?n当 x??2时，原级数也为
?(?1)n?1?3n?3(2)?3，该级数也收敛 n因而该级数的收敛域为 [?2,2]
tn13．（1）令t?x，则有un?， ,an?(2n?1)(2n)(2n?1)(2n)2??liman?11(2n?1)(2n)?lim?1,故收敛半径R??1, 即x2?1，
n??an??(2n?1)(2n?2)?n故收敛区间为(?1,1) （2）un?(1???liman?1n??an1?n2n12)x,an?(1?)?n nn1?(n?1)2(1?)1n?1?lim?e?1，故收敛半径R??e
n??12?(1?)?nn故收敛区间为(?e,e)
tn1,a?4．（1）令t?(x?1)，则有un? nn?32nn?32n2- 28 -
第十章 无穷级数习题详解
an?1n?32n12x?1?9， ，，即??lim?lim?n??an??(n?1)?32n?29nx?1?3，故收敛半径R?1??3，故收敛区间为(?2,4)
3n?(?2)nn3n?(?2)nt,an?（2）令t?(x?1)，则有un? nnan?1113n?1?(?2)n?1n，故收敛半径R??， ??lim?lim?n?3nn??an???3n?13?(?2)n即x?1?142，故收敛区间为(?,?) 333x1??5． 解 f(x)?299?xxx?x???(?1)n()2n x9n?031?()232n?1x2n?1?n?1x x?(?3,3) ??(?1)2n?2??(?1)2n33n?0n?1?n6．（1）解 un?n(n?1)xn,an?n(n?1),
??liman?11(n?1)(n?2)?lim?1,故收敛半径R??1,
n??an???n(n?1)n当x?1时，原级数为
?n(n?1)，该级数发散；
n?1?当x??1时，原级数为
?(?1)n?1?nn(n?1)，该级数发散，故收敛域为(?1,1)
?n(n?1)xn?1?n?(?xn?1?n?1x22x )???x?()???x?31?x(1?x)n2nn2x,an?(2) 解 un?, n!n!an?1(n?1)2n!n?1??lim?lim?2?lim2?0,
n??an??(n?1)!nn??nn故收敛半径R?1????,故该级数的收敛域为(??,??)
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第十章 无穷级数习题详解
??n2nnnnx?x?xxn?1???n?1n!n?1(n?1)!n?1(n?1)!??n?1?1n?1n?1n?1?1?x?x?x(?x??xn?1)n?1(n?1)!n?1(n?1)!n?1(n?1)!?
xn?xn?x(x???)?x(xex?ex)?xex(x?1)。
n?0n!n?0n!?五、证明题
1.设an?0且limnan?A?0，证明
n???an?1?n发散.
2.证明：若
?a收敛，则?2nn?1?an绝对收敛. n?1n?3.设
an?1bn?1?(an, bn?0, n?1, 2, ?)，试证： anbn（1）如果
?bn?1??n收敛，则
?an?1??n收敛；
（2）如果
?an?1n发散，则
?bn?1n发散.
五．证明解答
1．因为limnan?A?0，所以由极限定义，对任意给定的??0，存在正整数N，
n??使得当n?N时，有|nan?A|??成立，即
A???nan?A??
??A??A??A??A???an??an，也就是说，有，此即而级数?发散，所以级数?annnnnn?1n?1发散.
12???aann2an122．因为??，而级数?2和级数?an都绝对收敛，所以级数?n绝
n22n?12nn?1n?1n对收敛.
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